Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7740 / 4924
↖ ↑ ↗
← N 58.124319°
W  9.931641°		 ← 1 290.24 m → N 58.124319°
W  9.909668°		 →
↑
1 290.45 m
↓
↑
1 290.45 m
↓
N 58.112714°
W  9.931641°		 ← 1 290.66 m →
1 665 258 m²		 N 58.112714°
W  9.909668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7740 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4924 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472442626953125 y=0.300567626953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472442626953125 × 214)
    floor (0.472442626953125 × 16384)
    floor (7740.5)     		tx = 7740
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300567626953125 × 214)
    floor (0.300567626953125 × 16384)
    floor (4924.5)     		ty = 4924
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7740 / 4924 ti = "14/7740/4924"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7740/4924.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7740 ÷ 214
    7740 ÷ 16384     		x = 0.472412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4924 ÷ 214
    4924 ÷ 16384     		y = 0.300537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472412109375 × 2 - 1) × π
    -0.05517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17333983
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300537109375 × 2 - 1) × π
    0.39892578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.25326230366675
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17333983} λ = -0.17333983}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25326230366675))-π/2
    2×atan(3.50174810950979)-π/2
    2×1.29262853968841-π/2
    2.58525707937683-1.57079632675     		φ = 1.01446075
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17333983} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.931641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01446075 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.124319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7740 KachelY 4924 -0.17333983 1.01446075 -9.931641 58.124319
    Oben rechts KachelX + 1 7741 KachelY 4924 -0.17295633 1.01446075 -9.909668 58.124319
    Unten links KachelX 7740 KachelY + 1 4925 -0.17333983 1.01425820 -9.931641 58.112714
    Unten rechts KachelX + 1 7741 KachelY + 1 4925 -0.17295633 1.01425820 -9.909668 58.112714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01446075-1.01425820) × R
    0.000202550000000024 × 6371000     		dl = 1290.44605000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01446075-1.01425820) × R
    0.000202550000000024 × 6371000     		dr = 1290.44605000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17333983--0.17295633) × cos(1.01446075) × R
    0.000383500000000009 × 0.5280779372003 × 6371000     		do = 1290.24147028587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17333983--0.17295633) × cos(1.01425820) × R
    0.000383500000000009 × 0.528249930997942 × 6371000     		du = 1290.66169903379m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01446075)-sin(1.01425820))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.5280779372003-0.528249930997942)×R²
    abs(-0.17295633--0.17333983)×0.000171993797641878×R²
    0.000383500000000009×0.000171993797641878×6371000²
    0.000383500000000009×0.000171993797641878×40589641000000     		ar = 1665258.15583418m²