Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7740 / 1596
↖ ↑ ↗
← N 73.277353°
E160.136719°		 ← 1 406.04 m → N 73.277353°
E160.180664°		 →
↑
1 406.53 m
↓
↑
1 406.53 m
↓
N 73.264704°
E160.136719°		 ← 1 407.07 m →
1 978 351 m²		 N 73.264704°
E160.180664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7740 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1596 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.94488525390625 y=0.19488525390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.94488525390625 × 213)
    floor (0.94488525390625 × 8192)
    floor (7740.5)     		tx = 7740
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.19488525390625 × 213)
    floor (0.19488525390625 × 8192)
    floor (1596.5)     		ty = 1596
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7740 / 1596 ti = "13/7740/1596"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7740/1596.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7740 ÷ 213
    7740 ÷ 8192     		x = 0.94482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1596 ÷ 213
    1596 ÷ 8192     		y = 0.19482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94482421875 × 2 - 1) × π
    0.8896484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.79491300
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19482421875 × 2 - 1) × π
    0.6103515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.91747598480225
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79491300} λ = 2.79491300}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91747598480225))-π/2
    2×atan(6.80376397516161)-π/2
    2×1.42486370364976-π/2
    2.84972740729952-1.57079632675     		φ = 1.27893108
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79491300} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.136719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27893108 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.277353°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7740 KachelY 1596 2.79491300 1.27893108 160.136719 73.277353
    Oben rechts KachelX + 1 7741 KachelY 1596 2.79567999 1.27893108 160.180664 73.277353
    Unten links KachelX 7740 KachelY + 1 1597 2.79491300 1.27871031 160.136719 73.264704
    Unten rechts KachelX + 1 7741 KachelY + 1 1597 2.79567999 1.27871031 160.180664 73.264704
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27893108-1.27871031) × R
    0.000220770000000092 × 6371000     		dl = 1406.52567000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27893108-1.27871031) × R
    0.000220770000000092 × 6371000     		dr = 1406.52567000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79491300-2.79567999) × cos(1.27893108) × R
    0.000766989999999801 × 0.287739087951381 × 6371000     		do = 1406.03512254478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79491300-2.79567999) × cos(1.27871031) × R
    0.000766989999999801 × 0.287950514317585 × 6371000     		du = 1407.06825606456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27893108)-sin(1.27871031))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.287739087951381-0.287950514317585)×R²
    abs(2.79567999-2.79491300)×0.000211426366204692×R²
    0.000766989999999801×0.000211426366204692×6371000²
    0.000766989999999801×0.000211426366204692×40589641000000     		ar = 1978351.06522358m²