Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 774 / 1257
↖ ↑ ↗
← S 37.857507°
W 43.945312°		 ← 15.432 km → S 37.857507°
W 43.769531°		 →
↑
15.418 km
↓
↑
15.418 km
↓
S 37.996163°
W 43.945312°		 ← 15.403 km →
237.708 km²		 S 37.996163°
W 43.769531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 774 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1257 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378173828125 y=0.614013671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378173828125 × 211)
    floor (0.378173828125 × 2048)
    floor (774.5)     		tx = 774
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614013671875 × 211)
    floor (0.614013671875 × 2048)
    floor (1257.5)     		ty = 1257
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 774 / 1257 ti = "11/774/1257"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/774/1257.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 774 ÷ 211
    774 ÷ 2048     		x = 0.3779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1257 ÷ 211
    1257 ÷ 2048     		y = 0.61376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3779296875 × 2 - 1) × π
    -0.244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.76699039
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61376953125 × 2 - 1) × π
    -0.2275390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.714835047134277
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76699039} λ = -0.76699039}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.714835047134277))-π/2
    2×atan(0.489272812092751)-π/2
    2×0.455029090168557-π/2
    0.910058180337115-1.57079632675     		φ = -0.66073815
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76699039} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.945312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66073815 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.857507°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 774 KachelY 1257 -0.76699039 -0.66073815 -43.945312 -37.857507
    Oben rechts KachelX + 1 775 KachelY 1257 -0.76392243 -0.66073815 -43.769531 -37.857507
    Unten links KachelX 774 KachelY + 1 1258 -0.76699039 -0.66315814 -43.945312 -37.996163
    Unten rechts KachelX + 1 775 KachelY + 1 1258 -0.76392243 -0.66315814 -43.769531 -37.996163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66073815--0.66315814) × R
    0.00241998999999993 × 6371000     		dl = 15417.7562899995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66073815--0.66315814) × R
    0.00241998999999993 × 6371000     		dr = 15417.7562899995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76699039--0.76392243) × cos(-0.66073815) × R
    0.00306795999999998 × 0.789539444114464 × 6371000     		do = 15432.3167834225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76699039--0.76392243) × cos(-0.66315814) × R
    0.00306795999999998 × 0.788051986233167 × 6371000     		du = 15403.2429715981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66073815)-sin(-0.66315814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.789539444114464-0.788051986233167)×R²
    abs(-0.76392243--0.76699039)×0.00148745788129689×R²
    0.00306795999999998×0.00148745788129689×6371000²
    0.00306795999999998×0.00148745788129689×40589641000000     		ar = 237707688.692649m²