Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7739 / 3541
↖ ↑ ↗
← N 70.923824°
W  9.953613°		 ← 798.50 m → N 70.923824°
W  9.931641°		 →
↑
798.67 m
↓
↑
798.67 m
↓
N 70.916641°
W  9.953613°		 ← 798.79 m →
637 855 m²		 N 70.916641°
W  9.931641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7739 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3541 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472381591796875 y=0.216156005859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472381591796875 × 214)
    floor (0.472381591796875 × 16384)
    floor (7739.5)     		tx = 7739
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216156005859375 × 214)
    floor (0.216156005859375 × 16384)
    floor (3541.5)     		ty = 3541
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7739 / 3541 ti = "14/7739/3541"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7739/3541.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7739 ÷ 214
    7739 ÷ 16384     		x = 0.47235107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3541 ÷ 214
    3541 ÷ 16384     		y = 0.21612548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47235107421875 × 2 - 1) × π
    -0.0552978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17372332
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21612548828125 × 2 - 1) × π
    0.5677490234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.78363616106305
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17372332} λ = -0.17372332}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78363616106305))-π/2
    2×atan(5.95145758046148)-π/2
    2×1.40432528353514-π/2
    2.80865056707028-1.57079632675     		φ = 1.23785424
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17372332} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.953613°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23785424 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.923824°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7739 KachelY 3541 -0.17372332 1.23785424 -9.953613 70.923824
    Oben rechts KachelX + 1 7740 KachelY 3541 -0.17333983 1.23785424 -9.931641 70.923824
    Unten links KachelX 7739 KachelY + 1 3542 -0.17372332 1.23772888 -9.953613 70.916641
    Unten rechts KachelX + 1 7740 KachelY + 1 3542 -0.17333983 1.23772888 -9.931641 70.916641
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23785424-1.23772888) × R
    0.000125360000000185 × 6371000     		dl = 798.668560001181m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23785424-1.23772888) × R
    0.000125360000000185 × 6371000     		dr = 798.668560001181m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17372332--0.17333983) × cos(1.23785424) × R
    0.000383489999999986 × 0.326824960628891 × 6371000     		do = 798.503577549645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17372332--0.17333983) × cos(1.23772888) × R
    0.000383489999999986 × 0.326943433902064 × 6371000     		du = 798.793033202882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23785424)-sin(1.23772888))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.326824960628891-0.326943433902064)×R²
    abs(-0.17333983--0.17372332)×0.000118473273173658×R²
    0.000383489999999986×0.000118473273173658×6371000²
    0.000383489999999986×0.000118473273173658×40589641000000     		ar = 637855.292838058m²