Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7739 / 1605
↖ ↑ ↗
← N 73.163173°
E160.092774°		 ← 1 415.36 m → N 73.163173°
E160.136719°		 →
↑
1 415.83 m
↓
↑
1 415.83 m
↓
N 73.150440°
E160.092774°		 ← 1 416.40 m →
2 004 639 m²		 N 73.150440°
E160.136719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7739 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1605 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.94476318359375 y=0.19598388671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.94476318359375 × 213)
    floor (0.94476318359375 × 8192)
    floor (7739.5)     		tx = 7739
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.19598388671875 × 213)
    floor (0.19598388671875 × 8192)
    floor (1605.5)     		ty = 1605
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7739 / 1605 ti = "13/7739/1605"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7739/1605.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7739 ÷ 213
    7739 ÷ 8192     		x = 0.9447021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1605 ÷ 213
    1605 ÷ 8192     		y = 0.1959228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9447021484375 × 2 - 1) × π
    0.889404296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.79414601
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1959228515625 × 2 - 1) × π
    0.608154296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.91057307125696
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79414601} λ = 2.79414601}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91057307125696))-π/2
    2×atan(6.75695990872246)-π/2
    2×1.42386729529431-π/2
    2.84773459058862-1.57079632675     		φ = 1.27693826
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79414601} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.092774°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27693826 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.163173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7739 KachelY 1605 2.79414601 1.27693826 160.092774 73.163173
    Oben rechts KachelX + 1 7740 KachelY 1605 2.79491300 1.27693826 160.136719 73.163173
    Unten links KachelX 7739 KachelY + 1 1606 2.79414601 1.27671603 160.092774 73.150440
    Unten rechts KachelX + 1 7740 KachelY + 1 1606 2.79491300 1.27671603 160.136719 73.150440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27693826-1.27671603) × R
    0.000222230000000101 × 6371000     		dl = 1415.82733000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27693826-1.27671603) × R
    0.000222230000000101 × 6371000     		dr = 1415.82733000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79414601-2.79491300) × cos(1.27693826) × R
    0.000766990000000245 × 0.289647056660048 × 6371000     		do = 1415.35839883803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79414601-2.79491300) × cos(1.27671603) × R
    0.000766990000000245 × 0.289859753289033 × 6371000     		du = 1416.39773948837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27693826)-sin(1.27671603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.289647056660048-0.289859753289033)×R²
    abs(2.79491300-2.79414601)×0.000212696628985265×R²
    0.000766990000000245×0.000212696628985265×6371000²
    0.000766990000000245×0.000212696628985265×40589641000000     		ar = 2004638.87451936m²