Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 7739 / 1557
↖ ↑ ↗
← N 73.763497°
E160.092774°		 ← 1 366.28 m → N 73.763497°
E160.136719°		 →
↑
1 366.77 m
↓
↑
1 366.77 m
↓
N 73.751205°
E160.092774°		 ← 1 367.28 m →
1 868 076 m²		 N 73.751205°
E160.136719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7739 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.94476318359375 y=0.19012451171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.94476318359375 × 213)
    floor (0.94476318359375 × 8192)
    floor (7739.5)     		tx = 7739
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.19012451171875 × 213)
    floor (0.19012451171875 × 8192)
    floor (1557.5)     		ty = 1557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7739 / 1557 ti = "13/7739/1557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7739/1557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7739 ÷ 213
    7739 ÷ 8192     		x = 0.9447021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1557 ÷ 213
    1557 ÷ 8192     		y = 0.1900634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9447021484375 × 2 - 1) × π
    0.889404296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.79414601
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1900634765625 × 2 - 1) × π
    0.619873046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.94738861016516
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79414601} λ = 2.79414601}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.94738861016516))-π/2
    2×atan(7.01035688200602)-π/2
    2×1.42910610992074-π/2
    2.85821221984149-1.57079632675     		φ = 1.28741589
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79414601} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.092774°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28741589 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.763497°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7739 KachelY 1557 2.79414601 1.28741589 160.092774 73.763497
    Oben rechts KachelX + 1 7740 KachelY 1557 2.79491300 1.28741589 160.136719 73.763497
    Unten links KachelX 7739 KachelY + 1 1558 2.79414601 1.28720136 160.092774 73.751205
    Unten rechts KachelX + 1 7740 KachelY + 1 1558 2.79491300 1.28720136 160.136719 73.751205
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28741589-1.28720136) × R
    0.000214529999999824 × 6371000     		dl = 1366.77062999888m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28741589-1.28720136) × R
    0.000214529999999824 × 6371000     		dr = 1366.77062999888m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79414601-2.79491300) × cos(1.28741589) × R
    0.000766990000000245 × 0.279602850536952 × 6371000     		do = 1366.27745301412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79414601-2.79491300) × cos(1.28720136) × R
    0.000766990000000245 × 0.279808817732291 × 6371000     		du = 1367.28391033211m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28741589)-sin(1.28720136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.279602850536952-0.279808817732291)×R²
    abs(2.79491300-2.79414601)×0.000205967195339829×R²
    0.000766990000000245×0.000205967195339829×6371000²
    0.000766990000000245×0.000205967195339829×40589641000000     		ar = 1868075.70052262m²