Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77385 / 60344
↖ ↑ ↗
← N 14.115267°
E 32.544250°		 ← 296.20 m → N 14.115267°
E 32.546997°		 →
↑
296.19 m
↓
↑
296.19 m
↓
N 14.112604°
E 32.544250°		 ← 296.21 m →
87 733 m²		 N 14.112604°
E 32.546997°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77385 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60344 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590404510498047 y=0.460391998291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590404510498047 × 217)
    floor (0.590404510498047 × 131072)
    floor (77385.5)     		tx = 77385
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.460391998291016 × 217)
    floor (0.460391998291016 × 131072)
    floor (60344.5)     		ty = 60344
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77385 / 60344 ti = "17/77385/60344"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77385/60344.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77385 ÷ 217
    77385 ÷ 131072     		x = 0.590400695800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60344 ÷ 217
    60344 ÷ 131072     		y = 0.46038818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.590400695800781 × 2 - 1) × π
    0.180801391601562 × 3.1415926535     		Λ = 0.56800432
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46038818359375 × 2 - 1) × π
    0.0792236328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.248888382827332
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56800432} λ = 0.56800432}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.248888382827332))-π/2
    2×atan(1.28259886502097)-π/2
    2×0.908577108955772-π/2
    1.81715421791154-1.57079632675     		φ = 0.24635789
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56800432} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.544250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24635789 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.115267°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77385 KachelY 60344 0.56800432 0.24635789 32.544250 14.115267
    Oben rechts KachelX + 1 77386 KachelY 60344 0.56805226 0.24635789 32.546997 14.115267
    Unten links KachelX 77385 KachelY + 1 60345 0.56800432 0.24631140 32.544250 14.112604
    Unten rechts KachelX + 1 77386 KachelY + 1 60345 0.56805226 0.24631140 32.546997 14.112604
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24635789-0.24631140) × R
    4.64899999999824e-05 × 6371000     		dl = 296.187789999888m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24635789-0.24631140) × R
    4.64899999999824e-05 × 6371000     		dr = 296.187789999888m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56800432-0.56805226) × cos(0.24635789) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.969807065864871 × 6371000     		do = 296.204040748813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56800432-0.56805226) × cos(0.24631140) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.969818402493086 × 6371000     		du = 296.207503246874m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24635789)-sin(0.24631140))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.969807065864871-0.969818402493086)×R²
    abs(0.56805226-0.56800432)×1.13366282146199e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.13366282146199e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.13366282146199e-05×40589641000000     		ar = 87732.5330090509m²