Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77385 / 59993
↖ ↑ ↗
← N 15.048253°
E 32.544250°		 ← 294.95 m → N 15.048253°
E 32.546997°		 →
↑
294.98 m
↓
↑
294.98 m
↓
N 15.045601°
E 32.544250°		 ← 294.96 m →
87 005 m²		 N 15.045601°
E 32.546997°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77385 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59993 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590404510498047 y=0.457714080810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590404510498047 × 217)
    floor (0.590404510498047 × 131072)
    floor (77385.5)     		tx = 77385
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457714080810547 × 217)
    floor (0.457714080810547 × 131072)
    floor (59993.5)     		ty = 59993
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77385 / 59993 ti = "17/77385/59993"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77385/59993.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77385 ÷ 217
    77385 ÷ 131072     		x = 0.590400695800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59993 ÷ 217
    59993 ÷ 131072     		y = 0.457710266113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.590400695800781 × 2 - 1) × π
    0.180801391601562 × 3.1415926535     		Λ = 0.56800432
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457710266113281 × 2 - 1) × π
    0.0845794677734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.265714234593971
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56800432} λ = 0.56800432}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.265714234593971))-π/2
    2×atan(1.3043622638116)-π/2
    2×0.916718947029306-π/2
    1.83343789405861-1.57079632675     		φ = 0.26264157
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56800432} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.544250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26264157 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.048253°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77385 KachelY 59993 0.56800432 0.26264157 32.544250 15.048253
    Oben rechts KachelX + 1 77386 KachelY 59993 0.56805226 0.26264157 32.546997 15.048253
    Unten links KachelX 77385 KachelY + 1 59994 0.56800432 0.26259527 32.544250 15.045601
    Unten rechts KachelX + 1 77386 KachelY + 1 59994 0.56805226 0.26259527 32.546997 15.045601
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26264157-0.26259527) × R
    4.62999999999991e-05 × 6371000     		dl = 294.977299999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26264157-0.26259527) × R
    4.62999999999991e-05 × 6371000     		dr = 294.977299999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56800432-0.56805226) × cos(0.26264157) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.965707510970308 × 6371000     		do = 294.951931161471m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56800432-0.56805226) × cos(0.26259527) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.96571953091713 × 6371000     		du = 294.955602362624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26264157)-sin(0.26259527))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965707510970308-0.96571953091713)×R²
    abs(0.56805226-0.56800432)×1.20199468214288e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.20199468214288e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.20199468214288e-05×40589641000000     		ar = 87004.6657599244m²