Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77384 / 60488
↖ ↑ ↗
← N 13.731381°
E 32.541504°		 ← 296.63 m → N 13.731381°
E 32.544250°		 →
↑
296.70 m
↓
↑
296.70 m
↓
N 13.728713°
E 32.541504°		 ← 296.64 m →
88 011 m²		 N 13.728713°
E 32.544250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60488 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590396881103516 y=0.461490631103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590396881103516 × 217)
    floor (0.590396881103516 × 131072)
    floor (77384.5)     		tx = 77384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461490631103516 × 217)
    floor (0.461490631103516 × 131072)
    floor (60488.5)     		ty = 60488
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77384 / 60488 ti = "17/77384/60488"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77384/60488.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77384 ÷ 217
    77384 ÷ 131072     		x = 0.59039306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60488 ÷ 217
    60488 ÷ 131072     		y = 0.46148681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59039306640625 × 2 - 1) × π
    0.1807861328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.56795639
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46148681640625 × 2 - 1) × π
    0.0770263671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.241985469282043
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56795639} λ = 0.56795639}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.241985469282043))-π/2
    2×atan(1.27377568380652)-π/2
    2×0.905227067823319-π/2
    1.81045413564664-1.57079632675     		φ = 0.23965781
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56795639} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.541504°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23965781 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.731381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77384 KachelY 60488 0.56795639 0.23965781 32.541504 13.731381
    Oben rechts KachelX + 1 77385 KachelY 60488 0.56800432 0.23965781 32.544250 13.731381
    Unten links KachelX 77384 KachelY + 1 60489 0.56795639 0.23961124 32.541504 13.728713
    Unten rechts KachelX + 1 77385 KachelY + 1 60489 0.56800432 0.23961124 32.544250 13.728713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23965781-0.23961124) × R
    4.65699999999958e-05 × 6371000     		dl = 296.697469999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23965781-0.23961124) × R
    4.65699999999958e-05 × 6371000     		dr = 296.697469999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56795639-0.56800432) × cos(0.23965781) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.971419257443257 × 6371000     		do = 296.634556434147m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56795639-0.56800432) × cos(0.23961124) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.971430310721492 × 6371000     		du = 296.637931685627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23965781)-sin(0.23961124))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.971419257443257-0.971430310721492)×R²
    abs(0.56800432-0.56795639)×1.10532782345851e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.10532782345851e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.10532782345851e-05×40589641000000     		ar = 88011.2231387382m²