Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7738 / 4923
↖ ↑ ↗
← N 58.135921°
W  9.975586°		 ← 1 289.82 m → N 58.135921°
W  9.953613°		 →
↑
1 290.06 m
↓
↑
1 290.06 m
↓
N 58.124319°
W  9.975586°		 ← 1 290.24 m →
1 664 223 m²		 N 58.124319°
W  9.953613°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7738 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4923 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472320556640625 y=0.300506591796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472320556640625 × 214)
    floor (0.472320556640625 × 16384)
    floor (7738.5)     		tx = 7738
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300506591796875 × 214)
    floor (0.300506591796875 × 16384)
    floor (4923.5)     		ty = 4923
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7738 / 4923 ti = "14/7738/4923"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7738/4923.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7738 ÷ 214
    7738 ÷ 16384     		x = 0.4722900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4923 ÷ 214
    4923 ÷ 16384     		y = 0.30047607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4722900390625 × 2 - 1) × π
    -0.055419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17410682
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30047607421875 × 2 - 1) × π
    0.3990478515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.25364579886371
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17410682} λ = -0.17410682}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25364579886371))-π/2
    2×atan(3.50309127062221)-π/2
    2×1.29272978087744-π/2
    2.58545956175489-1.57079632675     		φ = 1.01466324
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17410682} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.975586°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01466324 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.135921°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7738 KachelY 4923 -0.17410682 1.01466324 -9.975586 58.135921
    Oben rechts KachelX + 1 7739 KachelY 4923 -0.17372332 1.01466324 -9.953613 58.135921
    Unten links KachelX 7738 KachelY + 1 4924 -0.17410682 1.01446075 -9.975586 58.124319
    Unten rechts KachelX + 1 7739 KachelY + 1 4924 -0.17372332 1.01446075 -9.953613 58.124319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01466324-1.01446075) × R
    0.000202489999999944 × 6371000     		dl = 1290.06378999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01466324-1.01446075) × R
    0.000202489999999944 × 6371000     		dr = 1290.06378999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17410682--0.17372332) × cos(1.01466324) × R
    0.000383500000000009 × 0.527905972695638 × 6371000     		do = 1289.82131310887m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17410682--0.17372332) × cos(1.01446075) × R
    0.000383500000000009 × 0.5280779372003 × 6371000     		du = 1290.24147028587m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01466324)-sin(1.01446075))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.527905972695638-0.5280779372003)×R²
    abs(-0.17372332--0.17410682)×0.00017196450466217×R²
    0.000383500000000009×0.00017196450466217×6371000²
    0.000383500000000009×0.00017196450466217×40589641000000     		ar = 1664222.79207665m²