Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77379 / 58947
↖ ↑ ↗
← N 17.803611°
E 32.527771°		 ← 290.80 m → N 17.803611°
E 32.530518°		 →
↑
290.77 m
↓
↑
290.77 m
↓
N 17.800996°
E 32.527771°		 ← 290.80 m →
84 557 m²		 N 17.800996°
E 32.530518°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77379 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58947 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590358734130859 y=0.449733734130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590358734130859 × 217)
    floor (0.590358734130859 × 131072)
    floor (77379.5)     		tx = 77379
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449733734130859 × 217)
    floor (0.449733734130859 × 131072)
    floor (58947.5)     		ty = 58947
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77379 / 58947 ti = "17/77379/58947"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77379/58947.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77379 ÷ 217
    77379 ÷ 131072     		x = 0.590354919433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58947 ÷ 217
    58947 ÷ 131072     		y = 0.449729919433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.590354919433594 × 2 - 1) × π
    0.180709838867188 × 3.1415926535     		Λ = 0.56771670
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449729919433594 × 2 - 1) × π
    0.100540161132812 × 3.1415926535     		Φ = 0.31585623159655
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56771670} λ = 0.56771670}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.31585623159655))-π/2
    2×atan(1.37143307270874)-π/2
    2×0.940763979747252-π/2
    1.8815279594945-1.57079632675     		φ = 0.31073163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56771670} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.527771°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31073163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.803611°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77379 KachelY 58947 0.56771670 0.31073163 32.527771 17.803611
    Oben rechts KachelX + 1 77380 KachelY 58947 0.56776464 0.31073163 32.530518 17.803611
    Unten links KachelX 77379 KachelY + 1 58948 0.56771670 0.31068599 32.527771 17.800996
    Unten rechts KachelX + 1 77380 KachelY + 1 58948 0.56776464 0.31068599 32.530518 17.800996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31073163-0.31068599) × R
    4.56399999999579e-05 × 6371000     		dl = 290.772439999732m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31073163-0.31068599) × R
    4.56399999999579e-05 × 6371000     		dr = 290.772439999732m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56771670-0.56776464) × cos(0.31073163) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.952110124971729 × 6371000     		do = 290.798939481465m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56771670-0.56776464) × cos(0.31068599) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.95212407865247 × 6371000     		du = 290.803201294732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31073163)-sin(0.31068599))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.952110124971729-0.95212407865247)×R²
    abs(0.56776464-0.56771670)×1.39536807410856e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.39536807410856e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.39536807410856e-05×40589641000000     		ar = 84556.9368059459m²