Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77378 / 60442
↖ ↑ ↗
← N 13.854081°
E 32.525025°		 ← 296.48 m → N 13.854081°
E 32.527771°		 →
↑
296.51 m
↓
↑
296.51 m
↓
N 13.851414°
E 32.525025°		 ← 296.48 m →
87 908 m²		 N 13.851414°
E 32.527771°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77378 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590351104736328 y=0.461139678955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590351104736328 × 217)
    floor (0.590351104736328 × 131072)
    floor (77378.5)     		tx = 77378
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461139678955078 × 217)
    floor (0.461139678955078 × 131072)
    floor (60442.5)     		ty = 60442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77378 / 60442 ti = "17/77378/60442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77378/60442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77378 ÷ 217
    77378 ÷ 131072     		x = 0.590347290039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60442 ÷ 217
    60442 ÷ 131072     		y = 0.461135864257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.590347290039062 × 2 - 1) × π
    0.180694580078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.56766877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.461135864257812 × 2 - 1) × π
    0.077728271484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.244190566664566
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56766877} λ = 0.56766877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.244190566664566))-π/2
    2×atan(1.27658758234847)-π/2
    2×0.906297823781447-π/2
    1.81259564756289-1.57079632675     		φ = 0.24179932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56766877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.525025°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24179932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.854081°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77378 KachelY 60442 0.56766877 0.24179932 32.525025 13.854081
    Oben rechts KachelX + 1 77379 KachelY 60442 0.56771670 0.24179932 32.527771 13.854081
    Unten links KachelX 77378 KachelY + 1 60443 0.56766877 0.24175278 32.525025 13.851414
    Unten rechts KachelX + 1 77379 KachelY + 1 60443 0.56771670 0.24175278 32.527771 13.851414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24179932-0.24175278) × R
    4.65400000000116e-05 × 6371000     		dl = 296.506340000074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24179932-0.24175278) × R
    4.65400000000116e-05 × 6371000     		dr = 296.506340000074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56766877-0.56771670) × cos(0.24179932) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.97090869961463 × 6371000     		do = 296.478651458478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56766877-0.56771670) × cos(0.24175278) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.970919842565612 × 6371000     		du = 296.48205409261m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24179932)-sin(0.24175278))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.97090869961463-0.970919842565612)×R²
    abs(0.56771670-0.56766877)×1.11429509823679e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.11429509823679e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.11429509823679e-05×40589641000000     		ar = 87908.3042992511m²