Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77377 / 58941
↖ ↑ ↗
← N 17.819301°
E 32.522278°		 ← 290.77 m → N 17.819301°
E 32.525025°		 →
↑
290.77 m
↓
↑
290.77 m
↓
N 17.816686°
E 32.522278°		 ← 290.78 m →
84 549 m²		 N 17.816686°
E 32.525025°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77377 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58941 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590343475341797 y=0.449687957763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590343475341797 × 217)
    floor (0.590343475341797 × 131072)
    floor (77377.5)     		tx = 77377
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449687957763672 × 217)
    floor (0.449687957763672 × 131072)
    floor (58941.5)     		ty = 58941
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77377 / 58941 ti = "17/77377/58941"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77377/58941.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77377 ÷ 217
    77377 ÷ 131072     		x = 0.590339660644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58941 ÷ 217
    58941 ÷ 131072     		y = 0.449684143066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.590339660644531 × 2 - 1) × π
    0.180679321289062 × 3.1415926535     		Λ = 0.56762083
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449684143066406 × 2 - 1) × π
    0.100631713867188 × 3.1415926535     		Φ = 0.31614385299427
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56762083} λ = 0.56762083}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.31614385299427))-π/2
    2×atan(1.37182758293807)-π/2
    2×0.940900897347409-π/2
    1.88180179469482-1.57079632675     		φ = 0.31100547
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56762083} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.522278°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31100547 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.819301°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77377 KachelY 58941 0.56762083 0.31100547 32.522278 17.819301
    Oben rechts KachelX + 1 77378 KachelY 58941 0.56766877 0.31100547 32.525025 17.819301
    Unten links KachelX 77377 KachelY + 1 58942 0.56762083 0.31095983 32.522278 17.816686
    Unten rechts KachelX + 1 77378 KachelY + 1 58942 0.56766877 0.31095983 32.525025 17.816686
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31100547-0.31095983) × R
    4.56400000000134e-05 × 6371000     		dl = 290.772440000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31100547-0.31095983) × R
    4.56400000000134e-05 × 6371000     		dr = 290.772440000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56762083-0.56766877) × cos(0.31100547) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.952026361239954 × 6371000     		do = 290.773355881703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56762083-0.56766877) × cos(0.31095983) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.952040326819786 × 6371000     		du = 290.777621329258m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31100547)-sin(0.31095983))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.952026361239954-0.952040326819786)×R²
    abs(0.56766877-0.56762083)×1.39655798322424e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.39655798322424e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.39655798322424e-05×40589641000000     		ar = 84549.4983286499m²