Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77372 / 58944
↖ ↑ ↗
← N 17.811456°
E 32.508545°		 ← 290.79 m → N 17.811456°
E 32.511291°		 →
↑
290.77 m
↓
↑
290.77 m
↓
N 17.808841°
E 32.508545°		 ← 290.79 m →
84 553 m²		 N 17.808841°
E 32.511291°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77372 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590305328369141 y=0.449710845947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590305328369141 × 217)
    floor (0.590305328369141 × 131072)
    floor (77372.5)     		tx = 77372
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449710845947266 × 217)
    floor (0.449710845947266 × 131072)
    floor (58944.5)     		ty = 58944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77372 / 58944 ti = "17/77372/58944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77372/58944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77372 ÷ 217
    77372 ÷ 131072     		x = 0.590301513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58944 ÷ 217
    58944 ÷ 131072     		y = 0.44970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.590301513671875 × 2 - 1) × π
    0.18060302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.56738114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44970703125 × 2 - 1) × π
    0.1005859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.31600004229541
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56738114} λ = 0.56738114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.31600004229541))-π/2
    2×atan(1.37163031363971)-π/2
    2×0.940832440053069-π/2
    1.88166488010614-1.57079632675     		φ = 0.31086855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56738114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.508545°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31086855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.811456°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77372 KachelY 58944 0.56738114 0.31086855 32.508545 17.811456
    Oben rechts KachelX + 1 77373 KachelY 58944 0.56742908 0.31086855 32.511291 17.811456
    Unten links KachelX 77372 KachelY + 1 58945 0.56738114 0.31082291 32.508545 17.808841
    Unten rechts KachelX + 1 77373 KachelY + 1 58945 0.56742908 0.31082291 32.511291 17.808841
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31086855-0.31082291) × R
    4.56400000000134e-05 × 6371000     		dl = 290.772440000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31086855-0.31082291) × R
    4.56400000000134e-05 × 6371000     		dr = 290.772440000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56738114-0.56742908) × cos(0.31086855) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.952068252030094 × 6371000     		do = 290.786150407281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56738114-0.56742908) × cos(0.31082291) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.952082211660512 × 6371000     		du = 290.790414037731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31086855)-sin(0.31082291))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.952068252030094-0.952082211660512)×R²
    abs(0.56742908-0.56738114)×1.39596304175038e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.39596304175038e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.39596304175038e-05×40589641000000     		ar = 84553.2183599291m²