Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77372 / 58943
↖ ↑ ↗
← N 17.814071°
E 32.508545°		 ← 290.78 m → N 17.814071°
E 32.511291°		 →
↑
290.77 m
↓
↑
290.77 m
↓
N 17.811456°
E 32.508545°		 ← 290.79 m →
84 552 m²		 N 17.811456°
E 32.511291°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77372 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58943 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590305328369141 y=0.449703216552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590305328369141 × 217)
    floor (0.590305328369141 × 131072)
    floor (77372.5)     		tx = 77372
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449703216552734 × 217)
    floor (0.449703216552734 × 131072)
    floor (58943.5)     		ty = 58943
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77372 / 58943 ti = "17/77372/58943"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77372/58943.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77372 ÷ 217
    77372 ÷ 131072     		x = 0.590301513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58943 ÷ 217
    58943 ÷ 131072     		y = 0.449699401855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.590301513671875 × 2 - 1) × π
    0.18060302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.56738114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449699401855469 × 2 - 1) × π
    0.100601196289062 × 3.1415926535     		Φ = 0.31604797919503
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56738114} λ = 0.56738114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.31604797919503))-π/2
    2×atan(1.37169606692036)-π/2
    2×0.940855259485848-π/2
    1.8817105189717-1.57079632675     		φ = 0.31091419
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56738114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.508545°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31091419 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.814071°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77372 KachelY 58943 0.56738114 0.31091419 32.508545 17.814071
    Oben rechts KachelX + 1 77373 KachelY 58943 0.56742908 0.31091419 32.511291 17.814071
    Unten links KachelX 77372 KachelY + 1 58944 0.56738114 0.31086855 32.508545 17.811456
    Unten rechts KachelX + 1 77373 KachelY + 1 58944 0.56742908 0.31086855 32.511291 17.811456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31091419-0.31086855) × R
    4.56399999999579e-05 × 6371000     		dl = 290.772439999732m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31091419-0.31086855) × R
    4.56399999999579e-05 × 6371000     		dr = 290.772439999732m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56738114-0.56742908) × cos(0.31091419) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.95205429041651 × 6371000     		do = 290.78188617112m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56738114-0.56742908) × cos(0.31086855) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.952068252030094 × 6371000     		du = 290.786150407281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31091419)-sin(0.31086855))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95205429041651-0.952068252030094)×R²
    abs(0.56742908-0.56738114)×1.39616135848009e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.39616135848009e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.39616135848009e-05×40589641000000     		ar = 84551.978525571m²