Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7737 / 9576
↖ ↑ ↗
← S 29.075375°
W  9.997558°		 ← 2 135.32 m → S 29.075375°
W  9.975586°		 →
↑
2 135.11 m
↓
↑
2 135.11 m
↓
S 29.094577°
W  9.997558°		 ← 2 134.93 m →
4 558 733 m²		 S 29.094577°
W  9.975586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7737 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472259521484375 y=0.584503173828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472259521484375 × 214)
    floor (0.472259521484375 × 16384)
    floor (7737.5)     		tx = 7737
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584503173828125 × 214)
    floor (0.584503173828125 × 16384)
    floor (9576.5)     		ty = 9576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7737 / 9576 ti = "14/7737/9576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7737/9576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7737 ÷ 214
    7737 ÷ 16384     		x = 0.47222900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9576 ÷ 214
    9576 ÷ 16384     		y = 0.58447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47222900390625 × 2 - 1) × π
    -0.0555419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17449031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58447265625 × 2 - 1) × π
    -0.1689453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.530757352593262
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17449031} λ = -0.17449031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.530757352593262))-π/2
    2×atan(0.588159356942443)-π/2
    2×0.531667649336112-π/2
    1.06333529867222-1.57079632675     		φ = -0.50746103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17449031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.997558°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50746103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.075375°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7737 KachelY 9576 -0.17449031 -0.50746103 -9.997558 -29.075375
    Oben rechts KachelX + 1 7738 KachelY 9576 -0.17410682 -0.50746103 -9.975586 -29.075375
    Unten links KachelX 7737 KachelY + 1 9577 -0.17449031 -0.50779616 -9.997558 -29.094577
    Unten rechts KachelX + 1 7738 KachelY + 1 9577 -0.17410682 -0.50779616 -9.975586 -29.094577
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50746103--0.50779616) × R
    0.000335130000000072 × 6371000     		dl = 2135.11323000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50746103--0.50779616) × R
    0.000335130000000072 × 6371000     		dr = 2135.11323000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17449031--0.17410682) × cos(-0.50746103) × R
    0.000383490000000014 × 0.873981160683682 × 6371000     		do = 2135.32369796382m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17449031--0.17410682) × cos(-0.50779616) × R
    0.000383490000000014 × 0.873818251898395 × 6371000     		du = 2134.92567681018m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50746103)-sin(-0.50779616))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873981160683682-0.873818251898395)×R²
    abs(-0.17410682--0.17449031)×0.000162908785287685×R²
    0.000383490000000014×0.000162908785287685×6371000²
    0.000383490000000014×0.000162908785287685×40589641000000     		ar = 4558733.01040738m²