Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7737 / 9521
↖ ↑ ↗
← S 28.013801°
W  9.997558°		 ← 2 156.95 m → S 28.013801°
W  9.975586°		 →
↑
2 156.77 m
↓
↑
2 156.77 m
↓
S 28.033198°
W  9.997558°		 ← 2 156.57 m →
4 651 645 m²		 S 28.033198°
W  9.975586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7737 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9521 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472259521484375 y=0.581146240234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472259521484375 × 214)
    floor (0.472259521484375 × 16384)
    floor (7737.5)     		tx = 7737
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581146240234375 × 214)
    floor (0.581146240234375 × 16384)
    floor (9521.5)     		ty = 9521
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7737 / 9521 ti = "14/7737/9521"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7737/9521.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7737 ÷ 214
    7737 ÷ 16384     		x = 0.47222900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9521 ÷ 214
    9521 ÷ 16384     		y = 0.58111572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47222900390625 × 2 - 1) × π
    -0.0555419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17449031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58111572265625 × 2 - 1) × π
    -0.1622314453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.509665116760437
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17449031} λ = -0.17449031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.509665116760437))-π/2
    2×atan(0.600696708392625)-π/2
    2×0.540931628395097-π/2
    1.08186325679019-1.57079632675     		φ = -0.48893307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17449031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.997558°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48893307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.013801°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7737 KachelY 9521 -0.17449031 -0.48893307 -9.997558 -28.013801
    Oben rechts KachelX + 1 7738 KachelY 9521 -0.17410682 -0.48893307 -9.975586 -28.013801
    Unten links KachelX 7737 KachelY + 1 9522 -0.17449031 -0.48927160 -9.997558 -28.033198
    Unten rechts KachelX + 1 7738 KachelY + 1 9522 -0.17410682 -0.48927160 -9.975586 -28.033198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48893307--0.48927160) × R
    0.000338529999999948 × 6371000     		dl = 2156.77462999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48893307--0.48927160) × R
    0.000338529999999948 × 6371000     		dr = 2156.77462999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17449031--0.17410682) × cos(-0.48893307) × R
    0.000383490000000014 × 0.882834481196543 × 6371000     		do = 2156.95426158145m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17449031--0.17410682) × cos(-0.48927160) × R
    0.000383490000000014 × 0.882675428408608 × 6371000     		du = 2156.56566145758m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48893307)-sin(-0.48927160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882834481196543-0.882675428408608)×R²
    abs(-0.17410682--0.17449031)×0.000159052787935599×R²
    0.000383490000000014×0.000159052787935599×6371000²
    0.000383490000000014×0.000159052787935599×40589641000000     		ar = 4651645.21242821m²