Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7737 / 1556
↖ ↑ ↗
← N 73.775780°
E160.004883°		 ← 1 365.27 m → N 73.775780°
E160.048828°		 →
↑
1 365.81 m
↓
↑
1 365.81 m
↓
N 73.763497°
E160.004883°		 ← 1 366.28 m →
1 865 395 m²		 N 73.763497°
E160.048828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7737 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1556 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.94451904296875 y=0.19000244140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.94451904296875 × 213)
    floor (0.94451904296875 × 8192)
    floor (7737.5)     		tx = 7737
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.19000244140625 × 213)
    floor (0.19000244140625 × 8192)
    floor (1556.5)     		ty = 1556
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7737 / 1556 ti = "13/7737/1556"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7737/1556.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7737 ÷ 213
    7737 ÷ 8192     		x = 0.9444580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1556 ÷ 213
    1556 ÷ 8192     		y = 0.18994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9444580078125 × 2 - 1) × π
    0.888916015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.79261202
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.18994140625 × 2 - 1) × π
    0.6201171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.94815560055908
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79261202} λ = 2.79261202}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.94815560055908))-π/2
    2×atan(7.01573582092603)-π/2
    2×1.42921329679801-π/2
    2.85842659359602-1.57079632675     		φ = 1.28763027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79261202} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.004883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28763027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.775780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7737 KachelY 1556 2.79261202 1.28763027 160.004883 73.775780
    Oben rechts KachelX + 1 7738 KachelY 1556 2.79337901 1.28763027 160.048828 73.775780
    Unten links KachelX 7737 KachelY + 1 1557 2.79261202 1.28741589 160.004883 73.763497
    Unten rechts KachelX + 1 7738 KachelY + 1 1557 2.79337901 1.28741589 160.048828 73.763497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28763027-1.28741589) × R
    0.00021438000000007 × 6371000     		dl = 1365.81498000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28763027-1.28741589) × R
    0.00021438000000007 × 6371000     		dr = 1365.81498000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79261202-2.79337901) × cos(1.28763027) × R
    0.000766990000000245 × 0.279397014499769 × 6371000     		do = 1365.27163659959m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79261202-2.79337901) × cos(1.28741589) × R
    0.000766990000000245 × 0.279602850536952 × 6371000     		du = 1366.27745301412m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28763027)-sin(1.28741589))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.279397014499769-0.279602850536952)×R²
    abs(2.79337901-2.79261202)×0.000205836037182883×R²
    0.000766990000000245×0.000205836037182883×6371000²
    0.000766990000000245×0.000205836037182883×40589641000000     		ar = 1865395.33974725m²