Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77360 / 60496
↖ ↑ ↗
← N 13.710035°
E 32.475586°		 ← 296.72 m → N 13.710035°
E 32.478333°		 →
↑
296.70 m
↓
↑
296.70 m
↓
N 13.707367°
E 32.475586°		 ← 296.73 m →
88 038 m²		 N 13.707367°
E 32.478333°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60496 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590213775634766 y=0.461551666259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590213775634766 × 217)
    floor (0.590213775634766 × 131072)
    floor (77360.5)     		tx = 77360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461551666259766 × 217)
    floor (0.461551666259766 × 131072)
    floor (60496.5)     		ty = 60496
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77360 / 60496 ti = "17/77360/60496"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77360/60496.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77360 ÷ 217
    77360 ÷ 131072     		x = 0.5902099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60496 ÷ 217
    60496 ÷ 131072     		y = 0.4615478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5902099609375 × 2 - 1) × π
    0.180419921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.56680590
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4615478515625 × 2 - 1) × π
    0.076904296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.241601974085083
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56680590} λ = 0.56680590}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.241601974085083))-π/2
    2×atan(1.27328729060398)-π/2
    2×0.905040792039597-π/2
    1.81008158407919-1.57079632675     		φ = 0.23928526
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56680590} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.475586°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23928526 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.710035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77360 KachelY 60496 0.56680590 0.23928526 32.475586 13.710035
    Oben rechts KachelX + 1 77361 KachelY 60496 0.56685384 0.23928526 32.478333 13.710035
    Unten links KachelX 77360 KachelY + 1 60497 0.56680590 0.23923869 32.475586 13.707367
    Unten rechts KachelX + 1 77361 KachelY + 1 60497 0.56685384 0.23923869 32.478333 13.707367
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23928526-0.23923869) × R
    4.65699999999958e-05 × 6371000     		dl = 296.697469999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23928526-0.23923869) × R
    4.65699999999958e-05 × 6371000     		dr = 296.697469999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56680590-0.56685384) × cos(0.23928526) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.971507622307198 × 6371000     		do = 296.723434459309m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56680590-0.56685384) × cos(0.23923869) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.971518658730783 × 6371000     		du = 296.726805267149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23928526)-sin(0.23923869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.971507622307198-0.971518658730783)×R²
    abs(0.56685384-0.56680590)×1.10364235844651e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.10364235844651e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.10364235844651e-05×40589641000000     		ar = 88037.5923647959m²