Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7736 / 9712
↖ ↑ ↗
← S 31.653381°
W 10.019531°		 ← 2 079.81 m → S 31.653381°
W  9.997558°		 →
↑
2 079.62 m
↓
↑
2 079.62 m
↓
S 31.672084°
W 10.019531°		 ← 2 079.39 m →
4 324 788 m²		 S 31.672084°
W  9.997558°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472198486328125 y=0.592803955078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472198486328125 × 214)
    floor (0.472198486328125 × 16384)
    floor (7736.5)     		tx = 7736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592803955078125 × 214)
    floor (0.592803955078125 × 16384)
    floor (9712.5)     		ty = 9712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7736 / 9712 ti = "14/7736/9712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7736/9712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7736 ÷ 214
    7736 ÷ 16384     		x = 0.47216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9712 ÷ 214
    9712 ÷ 16384     		y = 0.5927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47216796875 × 2 - 1) × π
    -0.0556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17487381
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5927734375 × 2 - 1) × π
    -0.185546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.582912699379883
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17487381} λ = -0.17487381}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.582912699379883))-π/2
    2×atan(0.558269923673894)-π/2
    2×0.509170300997706-π/2
    1.01834060199541-1.57079632675     		φ = -0.55245572
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17487381} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.019531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55245572 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.653381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7736 KachelY 9712 -0.17487381 -0.55245572 -10.019531 -31.653381
    Oben rechts KachelX + 1 7737 KachelY 9712 -0.17449031 -0.55245572 -9.997558 -31.653381
    Unten links KachelX 7736 KachelY + 1 9713 -0.17487381 -0.55278214 -10.019531 -31.672084
    Unten rechts KachelX + 1 7737 KachelY + 1 9713 -0.17449031 -0.55278214 -9.997558 -31.672084
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55245572--0.55278214) × R
    0.000326420000000049 × 6371000     		dl = 2079.62182000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55245572--0.55278214) × R
    0.000326420000000049 × 6371000     		dr = 2079.62182000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17487381--0.17449031) × cos(-0.55245572) × R
    0.000383499999999981 × 0.851238379268632 × 6371000     		do = 2079.81243044179m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17487381--0.17449031) × cos(-0.55278214) × R
    0.000383499999999981 × 0.851067035491464 × 6371000     		du = 2079.39378987493m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55245572)-sin(-0.55278214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.851238379268632-0.851067035491464)×R²
    abs(-0.17449031--0.17487381)×0.000171343777167543×R²
    0.000383499999999981×0.000171343777167543×6371000²
    0.000383499999999981×0.000171343777167543×40589641000000     		ar = 4324788.04322592m²