Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7736 / 9575
↖ ↑ ↗
← S 29.056170°
W 10.019531°		 ← 2 135.78 m → S 29.056170°
W  9.997558°		 →
↑
2 135.56 m
↓
↑
2 135.56 m
↓
S 29.075375°
W 10.019531°		 ← 2 135.38 m →
4 560 654 m²		 S 29.075375°
W  9.997558°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9575 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472198486328125 y=0.584442138671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472198486328125 × 214)
    floor (0.472198486328125 × 16384)
    floor (7736.5)     		tx = 7736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584442138671875 × 214)
    floor (0.584442138671875 × 16384)
    floor (9575.5)     		ty = 9575
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7736 / 9575 ti = "14/7736/9575"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7736/9575.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7736 ÷ 214
    7736 ÷ 16384     		x = 0.47216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9575 ÷ 214
    9575 ÷ 16384     		y = 0.58441162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47216796875 × 2 - 1) × π
    -0.0556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17487381
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58441162109375 × 2 - 1) × π
    -0.1688232421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.530373857396301
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17487381} λ = -0.17487381}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.530373857396301))-π/2
    2×atan(0.588384956486283)-π/2
    2×0.531835248738527-π/2
    1.06367049747705-1.57079632675     		φ = -0.50712583
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17487381} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.019531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50712583 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.056170°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7736 KachelY 9575 -0.17487381 -0.50712583 -10.019531 -29.056170
    Oben rechts KachelX + 1 7737 KachelY 9575 -0.17449031 -0.50712583 -9.997558 -29.056170
    Unten links KachelX 7736 KachelY + 1 9576 -0.17487381 -0.50746103 -10.019531 -29.075375
    Unten rechts KachelX + 1 7737 KachelY + 1 9576 -0.17449031 -0.50746103 -9.997558 -29.075375
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50712583--0.50746103) × R
    0.00033519999999998 × 6371000     		dl = 2135.55919999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50712583--0.50746103) × R
    0.00033519999999998 × 6371000     		dr = 2135.55919999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17487381--0.17449031) × cos(-0.50712583) × R
    0.000383499999999981 × 0.874144005306976 × 6371000     		do = 2135.77725407031m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17487381--0.17449031) × cos(-0.50746103) × R
    0.000383499999999981 × 0.873981160683682 × 6371000     		du = 2135.37937930338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50712583)-sin(-0.50746103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874144005306976-0.873981160683682)×R²
    abs(-0.17449031--0.17487381)×0.000162844623293634×R²
    0.000383499999999981×0.000162844623293634×6371000²
    0.000383499999999981×0.000162844623293634×40589641000000     		ar = 4560653.9642232m²