Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7736 / 4326
↖ ↑ ↗
← N 64.415921°
W 10.019531°		 ← 1 055.09 m → N 64.415921°
W  9.997558°		 →
↑
1 055.23 m
↓
↑
1 055.23 m
↓
N 64.406432°
W 10.019531°		 ← 1 055.46 m →
1 113 558 m²		 N 64.406432°
W  9.997558°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4326 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472198486328125 y=0.264068603515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472198486328125 × 214)
    floor (0.472198486328125 × 16384)
    floor (7736.5)     		tx = 7736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.264068603515625 × 214)
    floor (0.264068603515625 × 16384)
    floor (4326.5)     		ty = 4326
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7736 / 4326 ti = "14/7736/4326"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7736/4326.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7736 ÷ 214
    7736 ÷ 16384     		x = 0.47216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4326 ÷ 214
    4326 ÷ 16384     		y = 0.2640380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47216796875 × 2 - 1) × π
    -0.0556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17487381
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2640380859375 × 2 - 1) × π
    0.471923828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.4825924314491
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17487381} λ = -0.17487381}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4825924314491))-π/2
    2×atan(4.40434886605758)-π/2
    2×1.34753312362181-π/2
    2.69506624724361-1.57079632675     		φ = 1.12426992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17487381} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.019531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12426992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.415921°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7736 KachelY 4326 -0.17487381 1.12426992 -10.019531 64.415921
    Oben rechts KachelX + 1 7737 KachelY 4326 -0.17449031 1.12426992 -9.997558 64.415921
    Unten links KachelX 7736 KachelY + 1 4327 -0.17487381 1.12410429 -10.019531 64.406432
    Unten rechts KachelX + 1 7737 KachelY + 1 4327 -0.17449031 1.12410429 -9.997558 64.406432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12426992-1.12410429) × R
    0.000165629999999917 × 6371000     		dl = 1055.22872999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12426992-1.12410429) × R
    0.000165629999999917 × 6371000     		dr = 1055.22872999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17487381--0.17449031) × cos(1.12426992) × R
    0.000383499999999981 × 0.431835129353087 × 6371000     		do = 1055.09348709307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17487381--0.17449031) × cos(1.12410429) × R
    0.000383499999999981 × 0.431984513831638 × 6371000     		du = 1055.45847497774m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12426992)-sin(1.12410429))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431835129353087-0.431984513831638)×R²
    abs(-0.17449031--0.17487381)×0.000149384478551007×R²
    0.000383499999999981×0.000149384478551007×6371000²
    0.000383499999999981×0.000149384478551007×40589641000000     		ar = 1113557.53581254m²