Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7736 / 3912
↖ ↑ ↗
← N 68.073305°
W 10.019531°		 ← 912.37 m → N 68.073305°
W  9.997558°		 →
↑
912.52 m
↓
↑
912.52 m
↓
N 68.065098°
W 10.019531°		 ← 912.69 m →
832 702 m²		 N 68.065098°
W  9.997558°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3912 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472198486328125 y=0.238800048828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472198486328125 × 214)
    floor (0.472198486328125 × 16384)
    floor (7736.5)     		tx = 7736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.238800048828125 × 214)
    floor (0.238800048828125 × 16384)
    floor (3912.5)     		ty = 3912
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7736 / 3912 ti = "14/7736/3912"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7736/3912.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7736 ÷ 214
    7736 ÷ 16384     		x = 0.47216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3912 ÷ 214
    3912 ÷ 16384     		y = 0.23876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47216796875 × 2 - 1) × π
    -0.0556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17487381
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23876953125 × 2 - 1) × π
    0.5224609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.64135944299072
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17487381} λ = -0.17487381}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64135944299072))-π/2
    2×atan(5.16218243704978)-π/2
    2×1.37944981360882-π/2
    2.75889962721763-1.57079632675     		φ = 1.18810330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17487381} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.019531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18810330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.073305°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7736 KachelY 3912 -0.17487381 1.18810330 -10.019531 68.073305
    Oben rechts KachelX + 1 7737 KachelY 3912 -0.17449031 1.18810330 -9.997558 68.073305
    Unten links KachelX 7736 KachelY + 1 3913 -0.17487381 1.18796007 -10.019531 68.065098
    Unten rechts KachelX + 1 7737 KachelY + 1 3913 -0.17449031 1.18796007 -9.997558 68.065098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18810330-1.18796007) × R
    0.000143230000000161 × 6371000     		dl = 912.518330001024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18810330-1.18796007) × R
    0.000143230000000161 × 6371000     		dr = 912.518330001024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17487381--0.17449031) × cos(1.18810330) × R
    0.000383499999999981 × 0.373420040107369 × 6371000     		do = 912.369155463427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17487381--0.17449031) × cos(1.18796007) × R
    0.000383499999999981 × 0.373552905357917 × 6371000     		du = 912.693782273489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18810330)-sin(1.18796007))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373420040107369-0.373552905357917)×R²
    abs(-0.17449031--0.17487381)×0.000132865250548064×R²
    0.000383499999999981×0.000132865250548064×6371000²
    0.000383499999999981×0.000132865250548064×40589641000000     		ar = 832701.693468044m²