Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77352 / 57976
↖ ↑ ↗
← N 20.324024°
E 32.453614°		 ← 286.35 m → N 20.324024°
E 32.456360°		 →
↑
286.38 m
↓
↑
286.38 m
↓
N 20.321448°
E 32.453614°		 ← 286.36 m →
82 005 m²		 N 20.321448°
E 32.456360°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57976 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590152740478516 y=0.442325592041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590152740478516 × 217)
    floor (0.590152740478516 × 131072)
    floor (77352.5)     		tx = 77352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442325592041016 × 217)
    floor (0.442325592041016 × 131072)
    floor (57976.5)     		ty = 57976
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77352 / 57976 ti = "17/77352/57976"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77352/57976.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77352 ÷ 217
    77352 ÷ 131072     		x = 0.59014892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57976 ÷ 217
    57976 ÷ 131072     		y = 0.44232177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59014892578125 × 2 - 1) × π
    0.1802978515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.56642241
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44232177734375 × 2 - 1) × π
    0.1153564453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.362402961127625
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56642241} λ = 0.56642241}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.362402961127625))-π/2
    2×atan(1.43677779092448)-π/2
    2×0.962758727958974-π/2
    1.92551745591795-1.57079632675     		φ = 0.35472113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56642241} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.453614°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35472113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.324024°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77352 KachelY 57976 0.56642241 0.35472113 32.453614 20.324024
    Oben rechts KachelX + 1 77353 KachelY 57976 0.56647034 0.35472113 32.456360 20.324024
    Unten links KachelX 77352 KachelY + 1 57977 0.56642241 0.35467618 32.453614 20.321448
    Unten rechts KachelX + 1 77353 KachelY + 1 57977 0.56647034 0.35467618 32.456360 20.321448
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35472113-0.35467618) × R
    4.49499999999881e-05 × 6371000     		dl = 286.376449999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35472113-0.35467618) × R
    4.49499999999881e-05 × 6371000     		dr = 286.376449999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56642241-0.56647034) × cos(0.35472113) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.937743384883577 × 6371000     		do = 286.351223626632m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56642241-0.56647034) × cos(0.35467618) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.937758996368933 × 6371000     		du = 286.355990781492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35472113)-sin(0.35467618))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.937743384883577-0.937758996368933)×R²
    abs(0.56647034-0.56642241)×1.56114853558931e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.56114853558931e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.56114853558931e-05×40589641000000     		ar = 82004.9294895975m²