Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77344 / 58976
↖ ↑ ↗
← N 17.727759°
E 32.431641°		 ← 290.92 m → N 17.727759°
E 32.434387°		 →
↑
290.90 m
↓
↑
290.90 m
↓
N 17.725143°
E 32.431641°		 ← 290.93 m →
84 630 m²		 N 17.725143°
E 32.434387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58976 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590091705322266 y=0.449954986572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590091705322266 × 217)
    floor (0.590091705322266 × 131072)
    floor (77344.5)     		tx = 77344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449954986572266 × 217)
    floor (0.449954986572266 × 131072)
    floor (58976.5)     		ty = 58976
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77344 / 58976 ti = "17/77344/58976"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77344/58976.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77344 ÷ 217
    77344 ÷ 131072     		x = 0.590087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58976 ÷ 217
    58976 ÷ 131072     		y = 0.449951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.590087890625 × 2 - 1) × π
    0.18017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.56603891
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449951171875 × 2 - 1) × π
    0.10009765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.314466061507568
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56603891} λ = 0.56603891}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.314466061507568))-π/2
    2×atan(1.36952787205533)-π/2
    2×0.940102041763515-π/2
    1.88020408352703-1.57079632675     		φ = 0.30940776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56603891} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.431641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30940776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.727759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77344 KachelY 58976 0.56603891 0.30940776 32.431641 17.727759
    Oben rechts KachelX + 1 77345 KachelY 58976 0.56608685 0.30940776 32.434387 17.727759
    Unten links KachelX 77344 KachelY + 1 58977 0.56603891 0.30936210 32.431641 17.725143
    Unten rechts KachelX + 1 77345 KachelY + 1 58977 0.56608685 0.30936210 32.434387 17.725143
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30940776-0.30936210) × R
    4.56600000000029e-05 × 6371000     		dl = 290.899860000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30940776-0.30936210) × R
    4.56600000000029e-05 × 6371000     		dr = 290.899860000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56603891-0.56608685) × cos(0.30940776) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.952514070787353 × 6371000     		do = 290.922314931123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56603891-0.56608685) × cos(0.30936210) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.952527973016631 × 6371000     		du = 290.926561029788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30940776)-sin(0.30936210))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.952514070787353-0.952527973016631)×R²
    abs(0.56608685-0.56603891)×1.39022292782176e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.39022292782176e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.39022292782176e-05×40589641000000     		ar = 84629.8782937812m²