Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7734 / 9638
↖ ↑ ↗
← S 30.259067°
W 10.063477°		 ← 2 110.34 m → S 30.259067°
W 10.041504°		 →
↑
2 110.20 m
↓
↑
2 110.20 m
↓
S 30.278045°
W 10.063477°		 ← 2 109.93 m →
4 452 817 m²		 S 30.278045°
W 10.041504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7734 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9638 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472076416015625 y=0.588287353515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472076416015625 × 214)
    floor (0.472076416015625 × 16384)
    floor (7734.5)     		tx = 7734
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588287353515625 × 214)
    floor (0.588287353515625 × 16384)
    floor (9638.5)     		ty = 9638
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7734 / 9638 ti = "14/7734/9638"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7734/9638.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7734 ÷ 214
    7734 ÷ 16384     		x = 0.4720458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9638 ÷ 214
    9638 ÷ 16384     		y = 0.5882568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4720458984375 × 2 - 1) × π
    -0.055908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17564080
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5882568359375 × 2 - 1) × π
    -0.176513671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.55453405480481
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17564080} λ = -0.17564080}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.55453405480481))-π/2
    2×atan(0.57433980973487)-π/2
    2×0.521337987765144-π/2
    1.04267597553029-1.57079632675     		φ = -0.52812035
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17564080} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.063477°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52812035 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.259067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7734 KachelY 9638 -0.17564080 -0.52812035 -10.063477 -30.259067
    Oben rechts KachelX + 1 7735 KachelY 9638 -0.17525731 -0.52812035 -10.041504 -30.259067
    Unten links KachelX 7734 KachelY + 1 9639 -0.17564080 -0.52845157 -10.063477 -30.278045
    Unten rechts KachelX + 1 7735 KachelY + 1 9639 -0.17525731 -0.52845157 -10.041504 -30.278045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52812035--0.52845157) × R
    0.000331219999999965 × 6371000     		dl = 2110.20261999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52812035--0.52845157) × R
    0.000331219999999965 × 6371000     		dr = 2110.20261999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17564080--0.17525731) × cos(-0.52812035) × R
    0.000383490000000014 × 0.863755771515487 × 6371000     		do = 2110.34087591458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17564080--0.17525731) × cos(-0.52845157) × R
    0.000383490000000014 × 0.863588818845269 × 6371000     		du = 2109.93297468147m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52812035)-sin(-0.52845157))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.863755771515487-0.863588818845269)×R²
    abs(-0.17525731--0.17564080)×0.000166952670217824×R²
    0.000383490000000014×0.000166952670217824×6371000²
    0.000383490000000014×0.000166952670217824×40589641000000     		ar = 4452816.50903131m²