Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77335 / 59892
↖ ↑ ↗
← N 15.315976°
E 32.406921°		 ← 294.58 m → N 15.315976°
E 32.409668°		 →
↑
294.60 m
↓
↑
294.60 m
↓
N 15.313327°
E 32.406921°		 ← 294.58 m →
86 782 m²		 N 15.313327°
E 32.409668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77335 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59892 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590023040771484 y=0.456943511962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590023040771484 × 217)
    floor (0.590023040771484 × 131072)
    floor (77335.5)     		tx = 77335
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.456943511962891 × 217)
    floor (0.456943511962891 × 131072)
    floor (59892.5)     		ty = 59892
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77335 / 59892 ti = "17/77335/59892"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77335/59892.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77335 ÷ 217
    77335 ÷ 131072     		x = 0.590019226074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59892 ÷ 217
    59892 ÷ 131072     		y = 0.456939697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.590019226074219 × 2 - 1) × π
    0.180038452148438 × 3.1415926535     		Λ = 0.56560748
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.456939697265625 × 2 - 1) × π
    0.08612060546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.270555861455597
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56560748} λ = 0.56560748}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.270555861455597))-π/2
    2×atan(1.31069281189481)-π/2
    2×0.919055267498319-π/2
    1.83811053499664-1.57079632675     		φ = 0.26731421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56560748} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.406921°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26731421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.315976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77335 KachelY 59892 0.56560748 0.26731421 32.406921 15.315976
    Oben rechts KachelX + 1 77336 KachelY 59892 0.56565542 0.26731421 32.409668 15.315976
    Unten links KachelX 77335 KachelY + 1 59893 0.56560748 0.26726797 32.406921 15.313327
    Unten rechts KachelX + 1 77336 KachelY + 1 59893 0.56565542 0.26726797 32.409668 15.313327
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26731421-0.26726797) × R
    4.62399999999752e-05 × 6371000     		dl = 294.595039999842m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26731421-0.26726797) × R
    4.62399999999752e-05 × 6371000     		dr = 294.595039999842m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56560748-0.56565542) × cos(0.26731421) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.964483804066832 × 6371000     		do = 294.578179574934m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56560748-0.56565542) × cos(0.26726797) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.964496016961416 × 6371000     		du = 294.5819097073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26731421)-sin(0.26726797))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.964483804066832-0.964496016961416)×R²
    abs(0.56565542-0.56560748)×1.221289458464e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.221289458464e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.221289458464e-05×40589641000000     		ar = 86781.8200497166m²