Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77334 / 59894
↖ ↑ ↗
← N 15.310678°
E 32.404175°		 ← 294.59 m → N 15.310678°
E 32.406921°		 →
↑
294.60 m
↓
↑
294.60 m
↓
N 15.308029°
E 32.404175°		 ← 294.59 m →
86 784 m²		 N 15.308029°
E 32.406921°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77334 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59894 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590015411376953 y=0.456958770751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590015411376953 × 217)
    floor (0.590015411376953 × 131072)
    floor (77334.5)     		tx = 77334
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.456958770751953 × 217)
    floor (0.456958770751953 × 131072)
    floor (59894.5)     		ty = 59894
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77334 / 59894 ti = "17/77334/59894"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77334/59894.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77334 ÷ 217
    77334 ÷ 131072     		x = 0.590011596679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59894 ÷ 217
    59894 ÷ 131072     		y = 0.456954956054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.590011596679688 × 2 - 1) × π
    0.180023193359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.56555954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.456954956054688 × 2 - 1) × π
    0.086090087890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.270459987656357
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56555954} λ = 0.56555954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.270459987656357))-π/2
    2×atan(1.3105671568189)-π/2
    2×0.91900903254963-π/2
    1.83801806509926-1.57079632675     		φ = 0.26722174
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56555954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.404175°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26722174 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.310678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77334 KachelY 59894 0.56555954 0.26722174 32.404175 15.310678
    Oben rechts KachelX + 1 77335 KachelY 59894 0.56560748 0.26722174 32.406921 15.310678
    Unten links KachelX 77334 KachelY + 1 59895 0.56555954 0.26717550 32.404175 15.308029
    Unten rechts KachelX + 1 77335 KachelY + 1 59895 0.56560748 0.26717550 32.406921 15.308029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26722174-0.26717550) × R
    4.62399999999752e-05 × 6371000     		dl = 294.595039999842m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26722174-0.26717550) × R
    4.62399999999752e-05 × 6371000     		dr = 294.595039999842m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56555954-0.56560748) × cos(0.26722174) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.964508225153248 × 6371000     		do = 294.585638404006m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56555954-0.56560748) × cos(0.26717550) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.964520433923802 × 6371000     		du = 294.589367276787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26722174)-sin(0.26717550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.964508225153248-0.964520433923802)×R²
    abs(0.56560748-0.56555954)×1.22087705543006e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.22087705543006e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.22087705543006e-05×40589641000000     		ar = 86784.0171980957m²