Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77333 / 60471
↖ ↑ ↗
← N 13.776734°
E 32.401428°		 ← 296.64 m → N 13.776734°
E 32.404175°		 →
↑
296.63 m
↓
↑
296.63 m
↓
N 13.774066°
E 32.401428°		 ← 296.64 m →
87 994 m²		 N 13.774066°
E 32.404175°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77333 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60471 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590007781982422 y=0.461360931396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590007781982422 × 217)
    floor (0.590007781982422 × 131072)
    floor (77333.5)     		tx = 77333
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461360931396484 × 217)
    floor (0.461360931396484 × 131072)
    floor (60471.5)     		ty = 60471
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77333 / 60471 ti = "17/77333/60471"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77333/60471.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77333 ÷ 217
    77333 ÷ 131072     		x = 0.590003967285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60471 ÷ 217
    60471 ÷ 131072     		y = 0.461357116699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.590003967285156 × 2 - 1) × π
    0.180007934570312 × 3.1415926535     		Λ = 0.56551160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.461357116699219 × 2 - 1) × π
    0.0772857666015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.242800396575584
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56551160} λ = 0.56551160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.242800396575584))-π/2
    2×atan(1.27481414145337)-π/2
    2×0.90562284753433-π/2
    1.81124569506866-1.57079632675     		φ = 0.24044937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56551160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.401428°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24044937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.776734°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77333 KachelY 60471 0.56551160 0.24044937 32.401428 13.776734
    Oben rechts KachelX + 1 77334 KachelY 60471 0.56555954 0.24044937 32.404175 13.776734
    Unten links KachelX 77333 KachelY + 1 60472 0.56551160 0.24040281 32.401428 13.774066
    Unten rechts KachelX + 1 77334 KachelY + 1 60472 0.56555954 0.24040281 32.404175 13.774066
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24044937-0.24040281) × R
    4.6560000000001e-05 × 6371000     		dl = 296.633760000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24044937-0.24040281) × R
    4.6560000000001e-05 × 6371000     		dr = 296.633760000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56551160-0.56555954) × cos(0.24044937) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.9712310603536 × 6371000     		do = 296.638965319289m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56551160-0.56555954) × cos(0.24040281) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.971242147057012 × 6371000     		du = 296.642351483882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24044937)-sin(0.24040281))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9712310603536-0.971242147057012)×R²
    abs(0.56555954-0.56551160)×1.10867034117668e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.10867034117668e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.10867034117668e-05×40589641000000     		ar = 87993.6338864458m²