Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77333 / 59893
↖ ↑ ↗
← N 15.313327°
E 32.401428°		 ← 294.58 m → N 15.313327°
E 32.404175°		 →
↑
294.53 m
↓
↑
294.53 m
↓
N 15.310678°
E 32.401428°		 ← 294.59 m →
86 764 m²		 N 15.310678°
E 32.404175°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77333 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59893 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590007781982422 y=0.456951141357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590007781982422 × 217)
    floor (0.590007781982422 × 131072)
    floor (77333.5)     		tx = 77333
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.456951141357422 × 217)
    floor (0.456951141357422 × 131072)
    floor (59893.5)     		ty = 59893
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77333 / 59893 ti = "17/77333/59893"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77333/59893.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77333 ÷ 217
    77333 ÷ 131072     		x = 0.590003967285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59893 ÷ 217
    59893 ÷ 131072     		y = 0.456947326660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.590003967285156 × 2 - 1) × π
    0.180007934570312 × 3.1415926535     		Λ = 0.56551160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.456947326660156 × 2 - 1) × π
    0.0861053466796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.270507924555977
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56551160} λ = 0.56551160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.270507924555977))-π/2
    2×atan(1.31062998285098)-π/2
    2×0.919032150170308-π/2
    1.83806430034062-1.57079632675     		φ = 0.26726797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56551160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.401428°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26726797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.313327°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77333 KachelY 59893 0.56551160 0.26726797 32.401428 15.313327
    Oben rechts KachelX + 1 77334 KachelY 59893 0.56555954 0.26726797 32.404175 15.313327
    Unten links KachelX 77333 KachelY + 1 59894 0.56551160 0.26722174 32.401428 15.310678
    Unten rechts KachelX + 1 77334 KachelY + 1 59894 0.56555954 0.26722174 32.404175 15.310678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26726797-0.26722174) × R
    4.6230000000036e-05 × 6371000     		dl = 294.531330000229m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26726797-0.26722174) × R
    4.6230000000036e-05 × 6371000     		dr = 294.531330000229m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56551160-0.56555954) × cos(0.26726797) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.964496016961416 × 6371000     		do = 294.5819097073m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56551160-0.56555954) × cos(0.26722174) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.964508225153248 × 6371000     		du = 294.585638403324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26726797)-sin(0.26722174))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.964496016961416-0.964508225153248)×R²
    abs(0.56555954-0.56551160)×1.22081918315642e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.22081918315642e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.22081918315642e-05×40589641000000     		ar = 86764.1507844793m²