Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77327 / 58901
↖ ↑ ↗
← N 17.923863°
E 32.384949°		 ← 290.60 m → N 17.923863°
E 32.387695°		 →
↑
290.58 m
↓
↑
290.58 m
↓
N 17.921250°
E 32.384949°		 ← 290.61 m →
84 444 m²		 N 17.921250°
E 32.387695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77327 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58901 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589962005615234 y=0.449382781982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589962005615234 × 217)
    floor (0.589962005615234 × 131072)
    floor (77327.5)     		tx = 77327
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449382781982422 × 217)
    floor (0.449382781982422 × 131072)
    floor (58901.5)     		ty = 58901
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77327 / 58901 ti = "17/77327/58901"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77327/58901.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77327 ÷ 217
    77327 ÷ 131072     		x = 0.589958190917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58901 ÷ 217
    58901 ÷ 131072     		y = 0.449378967285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.589958190917969 × 2 - 1) × π
    0.179916381835938 × 3.1415926535     		Λ = 0.56522398
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449378967285156 × 2 - 1) × π
    0.101242065429688 × 3.1415926535     		Φ = 0.318061328979073
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56522398} λ = 0.56522398}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.318061328979073))-π/2
    2×atan(1.37446055290526)-π/2
    2×0.941813372946943-π/2
    1.88362674589389-1.57079632675     		φ = 0.31283042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56522398} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.384949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31283042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.923863°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77327 KachelY 58901 0.56522398 0.31283042 32.384949 17.923863
    Oben rechts KachelX + 1 77328 KachelY 58901 0.56527192 0.31283042 32.387695 17.923863
    Unten links KachelX 77327 KachelY + 1 58902 0.56522398 0.31278481 32.384949 17.921250
    Unten rechts KachelX + 1 77328 KachelY + 1 58902 0.56527192 0.31278481 32.387695 17.921250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31283042-0.31278481) × R
    4.56099999999737e-05 × 6371000     		dl = 290.581309999833m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31283042-0.31278481) × R
    4.56099999999737e-05 × 6371000     		dr = 290.581309999833m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56522398-0.56527192) × cos(0.31283042) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.951466312271187 × 6371000     		do = 290.602302510981m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56522398-0.56527192) × cos(0.31278481) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.951480347891976 × 6371000     		du = 290.606589350846m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31283042)-sin(0.31278481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.951466312271187-0.951480347891976)×R²
    abs(0.56527192-0.56522398)×1.40356207880554e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.40356207880554e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.40356207880554e-05×40589641000000     		ar = 84444.2206050719m²