Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77326 / 58902
↖ ↑ ↗
← N 17.921250°
E 32.382202°		 ← 290.55 m → N 17.921250°
E 32.384949°		 →
↑
290.58 m
↓
↑
290.58 m
↓
N 17.918636°
E 32.382202°		 ← 290.55 m →
84 428 m²		 N 17.918636°
E 32.384949°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77326 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58902 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589954376220703 y=0.449390411376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589954376220703 × 217)
    floor (0.589954376220703 × 131072)
    floor (77326.5)     		tx = 77326
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449390411376953 × 217)
    floor (0.449390411376953 × 131072)
    floor (58902.5)     		ty = 58902
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77326 / 58902 ti = "17/77326/58902"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77326/58902.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77326 ÷ 217
    77326 ÷ 131072     		x = 0.589950561523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58902 ÷ 217
    58902 ÷ 131072     		y = 0.449386596679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.589950561523438 × 2 - 1) × π
    0.179901123046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.56517605
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449386596679688 × 2 - 1) × π
    0.101226806640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.318013392079453
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56517605} λ = 0.56517605}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.318013392079453))-π/2
    2×atan(1.3743946671069)-π/2
    2×0.941790567606172-π/2
    1.88358113521234-1.57079632675     		φ = 0.31278481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56517605} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.382202°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31278481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.921250°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77326 KachelY 58902 0.56517605 0.31278481 32.382202 17.921250
    Oben rechts KachelX + 1 77327 KachelY 58902 0.56522398 0.31278481 32.384949 17.921250
    Unten links KachelX 77326 KachelY + 1 58903 0.56517605 0.31273920 32.382202 17.918636
    Unten rechts KachelX + 1 77327 KachelY + 1 58903 0.56522398 0.31273920 32.384949 17.918636
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31278481-0.31273920) × R
    4.56100000000292e-05 × 6371000     		dl = 290.581310000186m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31278481-0.31273920) × R
    4.56100000000292e-05 × 6371000     		dr = 290.581310000186m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56517605-0.56522398) × cos(0.31278481) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.951480347891976 × 6371000     		do = 290.545970536905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56517605-0.56522398) × cos(0.31273920) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.951494381533426 × 6371000     		du = 290.550255878146m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31278481)-sin(0.31273920))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.951480347891976-0.951494381533426)×R²
    abs(0.56522398-0.56517605)×1.40336414500286e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.40336414500286e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.40336414500286e-05×40589641000000     		ar = 84427.8513685947m²