Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77324 / 58869
↖ ↑ ↗
← N 18.007468°
E 32.376709°		 ← 290.46 m → N 18.007468°
E 32.379456°		 →
↑
290.45 m
↓
↑
290.45 m
↓
N 18.004856°
E 32.376709°		 ← 290.47 m →
84 367 m²		 N 18.004856°
E 32.379456°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58869 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589939117431641 y=0.449138641357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589939117431641 × 217)
    floor (0.589939117431641 × 131072)
    floor (77324.5)     		tx = 77324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449138641357422 × 217)
    floor (0.449138641357422 × 131072)
    floor (58869.5)     		ty = 58869
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77324 / 58869 ti = "17/77324/58869"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77324/58869.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77324 ÷ 217
    77324 ÷ 131072     		x = 0.589935302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58869 ÷ 217
    58869 ÷ 131072     		y = 0.449134826660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.589935302734375 × 2 - 1) × π
    0.17987060546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.56508017
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449134826660156 × 2 - 1) × π
    0.101730346679688 × 3.1415926535     		Φ = 0.319595309766914
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56508017} λ = 0.56508017}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.319595309766914))-π/2
    2×atan(1.3765705669338)-π/2
    2×0.942542965980539-π/2
    1.88508593196108-1.57079632675     		φ = 0.31428961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56508017} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.376709°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31428961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.007468°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77324 KachelY 58869 0.56508017 0.31428961 32.376709 18.007468
    Oben rechts KachelX + 1 77325 KachelY 58869 0.56512811 0.31428961 32.379456 18.007468
    Unten links KachelX 77324 KachelY + 1 58870 0.56508017 0.31424402 32.376709 18.004856
    Unten rechts KachelX + 1 77325 KachelY + 1 58870 0.56512811 0.31424402 32.379456 18.004856
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31428961-0.31424402) × R
    4.55899999999843e-05 × 6371000     		dl = 290.4538899999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31428961-0.31424402) × R
    4.55899999999843e-05 × 6371000     		dr = 290.4538899999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56508017-0.56512811) × cos(0.31428961) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.951016229506972 × 6371000     		do = 290.464835648986m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56508017-0.56512811) × cos(0.31424402) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.951030322254872 × 6371000     		du = 290.469139936942m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31428961)-sin(0.31424402))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.951016229506972-0.951030322254872)×R²
    abs(0.56512811-0.56508017)×1.40927478998742e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.40927478998742e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.40927478998742e-05×40589641000000     		ar = 84367.2665355978m²