Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77323 / 58871
↖ ↑ ↗
← N 18.002244°
E 32.373963°		 ← 290.41 m → N 18.002244°
E 32.376709°		 →
↑
290.45 m
↓
↑
290.45 m
↓
N 17.999632°
E 32.373963°		 ← 290.42 m →
84 352 m²		 N 17.999632°
E 32.376709°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77323 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58871 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589931488037109 y=0.449153900146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589931488037109 × 217)
    floor (0.589931488037109 × 131072)
    floor (77323.5)     		tx = 77323
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449153900146484 × 217)
    floor (0.449153900146484 × 131072)
    floor (58871.5)     		ty = 58871
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77323 / 58871 ti = "17/77323/58871"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77323/58871.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77323 ÷ 217
    77323 ÷ 131072     		x = 0.589927673339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58871 ÷ 217
    58871 ÷ 131072     		y = 0.449150085449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.589927673339844 × 2 - 1) × π
    0.179855346679688 × 3.1415926535     		Λ = 0.56503224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449150085449219 × 2 - 1) × π
    0.101699829101562 × 3.1415926535     		Φ = 0.319499435967674
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56503224} λ = 0.56503224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.319499435967674))-π/2
    2×atan(1.37643859620999)-π/2
    2×0.942497376535401-π/2
    1.8849947530708-1.57079632675     		φ = 0.31419843
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56503224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.373963°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31419843 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.002244°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77323 KachelY 58871 0.56503224 0.31419843 32.373963 18.002244
    Oben rechts KachelX + 1 77324 KachelY 58871 0.56508017 0.31419843 32.376709 18.002244
    Unten links KachelX 77323 KachelY + 1 58872 0.56503224 0.31415284 32.373963 17.999632
    Unten rechts KachelX + 1 77324 KachelY + 1 58872 0.56508017 0.31415284 32.376709 17.999632
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31419843-0.31415284) × R
    4.55899999999843e-05 × 6371000     		dl = 290.4538899999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31419843-0.31415284) × R
    4.55899999999843e-05 × 6371000     		dr = 290.4538899999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56503224-0.56508017) × cos(0.31419843) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.951044413026105 × 6371000     		do = 290.412852581987m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56503224-0.56508017) × cos(0.31415284) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.951058501820641 × 6371000     		du = 290.417154764887m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31419843)-sin(0.31415284))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.951044413026105-0.951058501820641)×R²
    abs(0.56508017-0.56503224)×1.40887945363488e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.40887945363488e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.40887945363488e-05×40589641000000     		ar = 84352.1675459118m²