Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77322 / 58869
↖ ↑ ↗
← N 18.007468°
E 32.371216°		 ← 290.46 m → N 18.007468°
E 32.373963°		 →
↑
290.45 m
↓
↑
290.45 m
↓
N 18.004856°
E 32.371216°		 ← 290.47 m →
84 367 m²		 N 18.004856°
E 32.373963°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77322 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58869 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589923858642578 y=0.449138641357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589923858642578 × 217)
    floor (0.589923858642578 × 131072)
    floor (77322.5)     		tx = 77322
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449138641357422 × 217)
    floor (0.449138641357422 × 131072)
    floor (58869.5)     		ty = 58869
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77322 / 58869 ti = "17/77322/58869"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77322/58869.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77322 ÷ 217
    77322 ÷ 131072     		x = 0.589920043945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58869 ÷ 217
    58869 ÷ 131072     		y = 0.449134826660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.589920043945312 × 2 - 1) × π
    0.179840087890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.56498430
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449134826660156 × 2 - 1) × π
    0.101730346679688 × 3.1415926535     		Φ = 0.319595309766914
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56498430} λ = 0.56498430}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.319595309766914))-π/2
    2×atan(1.3765705669338)-π/2
    2×0.942542965980539-π/2
    1.88508593196108-1.57079632675     		φ = 0.31428961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56498430} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.371216°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31428961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.007468°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77322 KachelY 58869 0.56498430 0.31428961 32.371216 18.007468
    Oben rechts KachelX + 1 77323 KachelY 58869 0.56503224 0.31428961 32.373963 18.007468
    Unten links KachelX 77322 KachelY + 1 58870 0.56498430 0.31424402 32.371216 18.004856
    Unten rechts KachelX + 1 77323 KachelY + 1 58870 0.56503224 0.31424402 32.373963 18.004856
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31428961-0.31424402) × R
    4.55899999999843e-05 × 6371000     		dl = 290.4538899999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31428961-0.31424402) × R
    4.55899999999843e-05 × 6371000     		dr = 290.4538899999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56498430-0.56503224) × cos(0.31428961) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.951016229506972 × 6371000     		do = 290.464835648986m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56498430-0.56503224) × cos(0.31424402) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.951030322254872 × 6371000     		du = 290.469139936942m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31428961)-sin(0.31424402))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.951016229506972-0.951030322254872)×R²
    abs(0.56503224-0.56498430)×1.40927478998742e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.40927478998742e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.40927478998742e-05×40589641000000     		ar = 84367.2665355978m²