Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77320 / 59038
↖ ↑ ↗
← N 17.565483°
E 32.365723°		 ← 291.12 m → N 17.565483°
E 32.368469°		 →
↑
291.15 m
↓
↑
291.15 m
↓
N 17.562865°
E 32.365723°		 ← 291.13 m →
84 763 m²		 N 17.562865°
E 32.368469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59038 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589908599853516 y=0.450428009033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589908599853516 × 217)
    floor (0.589908599853516 × 131072)
    floor (77320.5)     		tx = 77320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450428009033203 × 217)
    floor (0.450428009033203 × 131072)
    floor (59038.5)     		ty = 59038
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77320 / 59038 ti = "17/77320/59038"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77320/59038.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77320 ÷ 217
    77320 ÷ 131072     		x = 0.58990478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59038 ÷ 217
    59038 ÷ 131072     		y = 0.450424194335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58990478515625 × 2 - 1) × π
    0.1798095703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.56488843
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.450424194335938 × 2 - 1) × π
    0.099151611328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.311493973731125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56488843} λ = 0.56488843}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.311493973731125))-π/2
    2×atan(1.36546355774851)-π/2
    2×0.938685925255499-π/2
    1.877371850511-1.57079632675     		φ = 0.30657552
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56488843} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.365723°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30657552 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.565483°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77320 KachelY 59038 0.56488843 0.30657552 32.365723 17.565483
    Oben rechts KachelX + 1 77321 KachelY 59038 0.56493636 0.30657552 32.368469 17.565483
    Unten links KachelX 77320 KachelY + 1 59039 0.56488843 0.30652982 32.365723 17.562865
    Unten rechts KachelX + 1 77321 KachelY + 1 59039 0.56493636 0.30652982 32.368469 17.562865
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30657552-0.30652982) × R
    4.56999999999819e-05 × 6371000     		dl = 291.154699999884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30657552-0.30652982) × R
    4.56999999999819e-05 × 6371000     		dr = 291.154699999884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56488843-0.56493636) × cos(0.30657552) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.953372651010672 × 6371000     		do = 291.123808059279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56488843-0.56493636) × cos(0.30652982) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.953386442074345 × 6371000     		du = 291.128019326478m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30657552)-sin(0.30652982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.953372651010672-0.953386442074345)×R²
    abs(0.56493636-0.56488843)×1.3791063672941e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.3791063672941e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.3791063672941e-05×40589641000000     		ar = 84762.6780781833m²