Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7732 / 9719
↖ ↑ ↗
← S 31.784217°
W 10.107422°		 ← 2 076.82 m → S 31.784217°
W 10.085449°		 →
↑
2 076.69 m
↓
↑
2 076.69 m
↓
S 31.802893°
W 10.107422°		 ← 2 076.41 m →
4 312 488 m²		 S 31.802893°
W 10.085449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7732 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471954345703125 y=0.593231201171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471954345703125 × 214)
    floor (0.471954345703125 × 16384)
    floor (7732.5)     		tx = 7732
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593231201171875 × 214)
    floor (0.593231201171875 × 16384)
    floor (9719.5)     		ty = 9719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7732 / 9719 ti = "14/7732/9719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7732/9719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7732 ÷ 214
    7732 ÷ 16384     		x = 0.471923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9719 ÷ 214
    9719 ÷ 16384     		y = 0.59320068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471923828125 × 2 - 1) × π
    -0.05615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.17640779
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59320068359375 × 2 - 1) × π
    -0.1864013671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.585597165758606
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17640779} λ = -0.17640779}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.585597165758606))-π/2
    2×atan(0.55677327658172)-π/2
    2×0.508028546003423-π/2
    1.01605709200685-1.57079632675     		φ = -0.55473923
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17640779} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.107422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55473923 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.784217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7732 KachelY 9719 -0.17640779 -0.55473923 -10.107422 -31.784217
    Oben rechts KachelX + 1 7733 KachelY 9719 -0.17602430 -0.55473923 -10.085449 -31.784217
    Unten links KachelX 7732 KachelY + 1 9720 -0.17640779 -0.55506519 -10.107422 -31.802893
    Unten rechts KachelX + 1 7733 KachelY + 1 9720 -0.17602430 -0.55506519 -10.085449 -31.802893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55473923--0.55506519) × R
    0.000325959999999959 × 6371000     		dl = 2076.69115999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55473923--0.55506519) × R
    0.000325959999999959 × 6371000     		dr = 2076.69115999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17640779--0.17602430) × cos(-0.55473923) × R
    0.000383490000000014 × 0.850037822375631 × 6371000     		do = 2076.82497968761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17640779--0.17602430) × cos(-0.55506519) × R
    0.000383490000000014 × 0.849866087030189 × 6371000     		du = 2076.40539335166m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55473923)-sin(-0.55506519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.850037822375631-0.849866087030189)×R²
    abs(-0.17602430--0.17640779)×0.000171735345442126×R²
    0.000383490000000014×0.000171735345442126×6371000²
    0.000383490000000014×0.000171735345442126×40589641000000     		ar = 4312488.43874986m²