Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7732 / 1589
↖ ↑ ↗
← N 73.365640°
E159.785156°		 ← 1 398.82 m → N 73.365640°
E159.829101°		 →
↑
1 399.33 m
↓
↑
1 399.33 m
↓
N 73.353055°
E159.785156°		 ← 1 399.85 m →
1 958 129 m²		 N 73.353055°
E159.829101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7732 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1589 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.94390869140625 y=0.19403076171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.94390869140625 × 213)
    floor (0.94390869140625 × 8192)
    floor (7732.5)     		tx = 7732
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.19403076171875 × 213)
    floor (0.19403076171875 × 8192)
    floor (1589.5)     		ty = 1589
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7732 / 1589 ti = "13/7732/1589"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7732/1589.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7732 ÷ 213
    7732 ÷ 8192     		x = 0.94384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1589 ÷ 213
    1589 ÷ 8192     		y = 0.1939697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94384765625 × 2 - 1) × π
    0.8876953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.78877707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1939697265625 × 2 - 1) × π
    0.612060546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.92284491755969
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78877707} λ = 2.78877707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92284491755969))-π/2
    2×atan(6.840391162913)-π/2
    2×1.42563414679147-π/2
    2.85126829358294-1.57079632675     		φ = 1.28047197
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78877707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.785156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28047197 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.365640°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7732 KachelY 1589 2.78877707 1.28047197 159.785156 73.365640
    Oben rechts KachelX + 1 7733 KachelY 1589 2.78954406 1.28047197 159.829101 73.365640
    Unten links KachelX 7732 KachelY + 1 1590 2.78877707 1.28025233 159.785156 73.353055
    Unten rechts KachelX + 1 7733 KachelY + 1 1590 2.78954406 1.28025233 159.829101 73.353055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28047197-1.28025233) × R
    0.000219640000000076 × 6371000     		dl = 1399.32644000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28047197-1.28025233) × R
    0.000219640000000076 × 6371000     		dr = 1399.32644000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78877707-2.78954406) × cos(1.28047197) × R
    0.000766989999999801 × 0.286263022969441 × 6371000     		do = 1398.82234091493m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78877707-2.78954406) × cos(1.28025233) × R
    0.000766989999999801 × 0.286473464364854 × 6371000     		du = 1399.85066138155m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28047197)-sin(1.28025233))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.286263022969441-0.286473464364854)×R²
    abs(2.78954406-2.78877707)×0.000210441395412708×R²
    0.000766989999999801×0.000210441395412708×6371000²
    0.000766989999999801×0.000210441395412708×40589641000000     		ar = 1958128.57238834m²