Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 7732 / 1587
↖ ↑ ↗
← N 73.390781°
E159.785156°		 ← 1 396.77 m → N 73.390781°
E159.829101°		 →
↑
1 397.29 m
↓
↑
1 397.29 m
↓
N 73.378215°
E159.785156°		 ← 1 397.79 m →
1 952 404 m²		 N 73.378215°
E159.829101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7732 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1587 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.94390869140625 y=0.19378662109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.94390869140625 × 213)
    floor (0.94390869140625 × 8192)
    floor (7732.5)     		tx = 7732
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.19378662109375 × 213)
    floor (0.19378662109375 × 8192)
    floor (1587.5)     		ty = 1587
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7732 / 1587 ti = "13/7732/1587"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7732/1587.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7732 ÷ 213
    7732 ÷ 8192     		x = 0.94384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1587 ÷ 213
    1587 ÷ 8192     		y = 0.1937255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94384765625 × 2 - 1) × π
    0.8876953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.78877707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1937255859375 × 2 - 1) × π
    0.612548828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.92437889834753
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78877707} λ = 2.78877707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92437889834753))-π/2
    2×atan(6.85089224370715)-π/2
    2×1.4258535465008-π/2
    2.8517070930016-1.57079632675     		φ = 1.28091077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78877707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.785156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28091077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.390781°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7732 KachelY 1587 2.78877707 1.28091077 159.785156 73.390781
    Oben rechts KachelX + 1 7733 KachelY 1587 2.78954406 1.28091077 159.829101 73.390781
    Unten links KachelX 7732 KachelY + 1 1588 2.78877707 1.28069145 159.785156 73.378215
    Unten rechts KachelX + 1 7733 KachelY + 1 1588 2.78954406 1.28069145 159.829101 73.378215
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28091077-1.28069145) × R
    0.000219320000000023 × 6371000     		dl = 1397.28772000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28091077-1.28069145) × R
    0.000219320000000023 × 6371000     		dr = 1397.28772000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78877707-2.78954406) × cos(1.28091077) × R
    0.000766989999999801 × 0.285842558732097 × 6371000     		do = 1396.76774524046m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78877707-2.78954406) × cos(1.28069145) × R
    0.000766989999999801 × 0.28605272107843 × 6371000     		du = 1397.79470213563m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28091077)-sin(1.28069145))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.285842558732097-0.28605272107843)×R²
    abs(2.78954406-2.78877707)×0.000210162346332754×R²
    0.000766989999999801×0.000210162346332754×6371000²
    0.000766989999999801×0.000210162346332754×40589641000000     		ar = 1952403.90307458m²