Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77317 / 59909
↖ ↑ ↗
← N 15.270938°
E 32.357483°		 ← 294.64 m → N 15.270938°
E 32.360229°		 →
↑
294.66 m
↓
↑
294.66 m
↓
N 15.268288°
E 32.357483°		 ← 294.65 m →
86 819 m²		 N 15.268288°
E 32.360229°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77317 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59909 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589885711669922 y=0.457073211669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589885711669922 × 217)
    floor (0.589885711669922 × 131072)
    floor (77317.5)     		tx = 77317
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457073211669922 × 217)
    floor (0.457073211669922 × 131072)
    floor (59909.5)     		ty = 59909
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77317 / 59909 ti = "17/77317/59909"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77317/59909.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77317 ÷ 217
    77317 ÷ 131072     		x = 0.589881896972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59909 ÷ 217
    59909 ÷ 131072     		y = 0.457069396972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.589881896972656 × 2 - 1) × π
    0.179763793945312 × 3.1415926535     		Λ = 0.56474461
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457069396972656 × 2 - 1) × π
    0.0858612060546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.269740934162056
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56474461} λ = 0.56474461}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.269740934162056))-π/2
    2×atan(1.30962512765055)-π/2
    2×0.918662233150454-π/2
    1.83732446630091-1.57079632675     		φ = 0.26652814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56474461} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.357483°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26652814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.270938°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77317 KachelY 59909 0.56474461 0.26652814 32.357483 15.270938
    Oben rechts KachelX + 1 77318 KachelY 59909 0.56479255 0.26652814 32.360229 15.270938
    Unten links KachelX 77317 KachelY + 1 59910 0.56474461 0.26648189 32.357483 15.268288
    Unten rechts KachelX + 1 77318 KachelY + 1 59910 0.56479255 0.26648189 32.360229 15.268288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26652814-0.26648189) × R
    4.62500000000254e-05 × 6371000     		dl = 294.658750000162m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26652814-0.26648189) × R
    4.62500000000254e-05 × 6371000     		dr = 294.658750000162m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56474461-0.56479255) × cos(0.26652814) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.964691140160565 × 6371000     		do = 294.641505354791m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56474461-0.56479255) × cos(0.26648189) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.964703320627611 × 6371000     		du = 294.645225582952m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26652814)-sin(0.26648189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.964691140160565-0.964703320627611)×R²
    abs(0.56479255-0.56474461)×1.21804670462078e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.21804670462078e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.21804670462078e-05×40589641000000     		ar = 86819.2457804366m²