Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77316 / 59908
↖ ↑ ↗
← N 15.273587°
E 32.354736°		 ← 294.58 m → N 15.273587°
E 32.357483°		 →
↑
294.60 m
↓
↑
294.60 m
↓
N 15.270938°
E 32.354736°		 ← 294.58 m →
86 781 m²		 N 15.270938°
E 32.357483°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77316 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59908 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589878082275391 y=0.457065582275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589878082275391 × 217)
    floor (0.589878082275391 × 131072)
    floor (77316.5)     		tx = 77316
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457065582275391 × 217)
    floor (0.457065582275391 × 131072)
    floor (59908.5)     		ty = 59908
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77316 / 59908 ti = "17/77316/59908"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77316/59908.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77316 ÷ 217
    77316 ÷ 131072     		x = 0.589874267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59908 ÷ 217
    59908 ÷ 131072     		y = 0.457061767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.589874267578125 × 2 - 1) × π
    0.17974853515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.56469668
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457061767578125 × 2 - 1) × π
    0.08587646484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.269788871061676
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56469668} λ = 0.56469668}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.269788871061676))-π/2
    2×atan(1.30968790852358)-π/2
    2×0.918685355155657-π/2
    1.83737071031131-1.57079632675     		φ = 0.26657438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56469668} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.354736°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26657438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.273587°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77316 KachelY 59908 0.56469668 0.26657438 32.354736 15.273587
    Oben rechts KachelX + 1 77317 KachelY 59908 0.56474461 0.26657438 32.357483 15.273587
    Unten links KachelX 77316 KachelY + 1 59909 0.56469668 0.26652814 32.354736 15.270938
    Unten rechts KachelX + 1 77317 KachelY + 1 59909 0.56474461 0.26652814 32.357483 15.270938
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26657438-0.26652814) × R
    4.62399999999752e-05 × 6371000     		dl = 294.595039999842m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26657438-0.26652814) × R
    4.62399999999752e-05 × 6371000     		dr = 294.595039999842m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56469668-0.56474461) × cos(0.26657438) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.964678960264267 × 6371000     		do = 294.576325604766m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56469668-0.56474461) × cos(0.26652814) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.964691140160565 × 6371000     		du = 294.580044882625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26657438)-sin(0.26652814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.964678960264267-0.964691140160565)×R²
    abs(0.56474461-0.56469668)×1.21798962970932e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.21798962970932e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.21798962970932e-05×40589641000000     		ar = 86781.2722804371m²