Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7731 / 1585
↖ ↑ ↗
← N 73.415885°
E159.741211°		 ← 1 394.72 m → N 73.415885°
E159.785156°		 →
↑
1 395.25 m
↓
↑
1 395.25 m
↓
N 73.403337°
E159.741211°		 ← 1 395.74 m →
1 946 691 m²		 N 73.403337°
E159.785156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7731 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1585 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.94378662109375 y=0.19354248046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.94378662109375 × 213)
    floor (0.94378662109375 × 8192)
    floor (7731.5)     		tx = 7731
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.19354248046875 × 213)
    floor (0.19354248046875 × 8192)
    floor (1585.5)     		ty = 1585
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7731 / 1585 ti = "13/7731/1585"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7731/1585.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7731 ÷ 213
    7731 ÷ 8192     		x = 0.9437255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1585 ÷ 213
    1585 ÷ 8192     		y = 0.1934814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9437255859375 × 2 - 1) × π
    0.887451171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.78801008
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1934814453125 × 2 - 1) × π
    0.613037109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.92591287913538
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78801008} λ = 2.78801008}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92591287913538))-π/2
    2×atan(6.86140944531885)-π/2
    2×1.42607262393435-π/2
    2.8521452478687-1.57079632675     		φ = 1.28134892
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78801008} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.741211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28134892 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.415885°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7731 KachelY 1585 2.78801008 1.28134892 159.741211 73.415885
    Oben rechts KachelX + 1 7732 KachelY 1585 2.78877707 1.28134892 159.785156 73.415885
    Unten links KachelX 7731 KachelY + 1 1586 2.78801008 1.28112992 159.741211 73.403337
    Unten rechts KachelX + 1 7732 KachelY + 1 1586 2.78877707 1.28112992 159.785156 73.403337
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28134892-1.28112992) × R
    0.000218999999999969 × 6371000     		dl = 1395.2489999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28134892-1.28112992) × R
    0.000218999999999969 × 6371000     		dr = 1395.2489999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78801008-2.78877707) × cos(1.28134892) × R
    0.000766990000000245 × 0.285422662418267 × 6371000     		do = 1394.71592472124m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78801008-2.78877707) × cos(1.28112992) × R
    0.000766990000000245 × 0.285632545554047 × 6371000     		du = 1395.74151725592m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28134892)-sin(1.28112992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.285422662418267-0.285632545554047)×R²
    abs(2.78877707-2.78801008)×0.000209883135780187×R²
    0.000766990000000245×0.000209883135780187×6371000²
    0.000766990000000245×0.000209883135780187×40589641000000     		ar = 1946691.48551346m²