Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77308 / 57418
↖ ↑ ↗
← N 21.754398°
E 32.332764°		 ← 283.67 m → N 21.754398°
E 32.335510°		 →
↑
283.64 m
↓
↑
283.64 m
↓
N 21.751847°
E 32.332764°		 ← 283.68 m →
80 461 m²		 N 21.751847°
E 32.335510°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57418 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589817047119141 y=0.438068389892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589817047119141 × 217)
    floor (0.589817047119141 × 131072)
    floor (77308.5)     		tx = 77308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438068389892578 × 217)
    floor (0.438068389892578 × 131072)
    floor (57418.5)     		ty = 57418
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77308 / 57418 ti = "17/77308/57418"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77308/57418.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77308 ÷ 217
    77308 ÷ 131072     		x = 0.589813232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57418 ÷ 217
    57418 ÷ 131072     		y = 0.438064575195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.589813232421875 × 2 - 1) × π
    0.17962646484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.56431318
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438064575195312 × 2 - 1) × π
    0.123870849609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.389151751115616
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56431318} λ = 0.56431318}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.389151751115616))-π/2
    2×atan(1.47572847778493)-π/2
    2×0.975241098240599-π/2
    1.9504821964812-1.57079632675     		φ = 0.37968587
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56431318} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.332764°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37968587 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.754398°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77308 KachelY 57418 0.56431318 0.37968587 32.332764 21.754398
    Oben rechts KachelX + 1 77309 KachelY 57418 0.56436112 0.37968587 32.335510 21.754398
    Unten links KachelX 77308 KachelY + 1 57419 0.56431318 0.37964135 32.332764 21.751847
    Unten rechts KachelX + 1 77309 KachelY + 1 57419 0.56436112 0.37964135 32.335510 21.751847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37968587-0.37964135) × R
    4.45199999999923e-05 × 6371000     		dl = 283.636919999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37968587-0.37964135) × R
    4.45199999999923e-05 × 6371000     		dr = 283.636919999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56431318-0.56436112) × cos(0.37968587) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.928781107002426 × 6371000     		do = 283.673656904706m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56431318-0.56436112) × cos(0.37964135) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.92879760647303 × 6371000     		du = 283.678696267725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37968587)-sin(0.37964135))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928781107002426-0.92879760647303)×R²
    abs(0.56436112-0.56431318)×1.64994706044475e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.64994706044475e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.64994706044475e-05×40589641000000     		ar = 80461.0370175762m²