Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77305 / 59001
↖ ↑ ↗
← N 17.662342°
E 32.324524°		 ← 291.03 m → N 17.662342°
E 32.327271°		 →
↑
290.96 m
↓
↑
290.96 m
↓
N 17.659726°
E 32.324524°		 ← 291.03 m →
84 679 m²		 N 17.659726°
E 32.327271°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77305 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59001 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589794158935547 y=0.450145721435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589794158935547 × 217)
    floor (0.589794158935547 × 131072)
    floor (77305.5)     		tx = 77305
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450145721435547 × 217)
    floor (0.450145721435547 × 131072)
    floor (59001.5)     		ty = 59001
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77305 / 59001 ti = "17/77305/59001"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77305/59001.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77305 ÷ 217
    77305 ÷ 131072     		x = 0.589790344238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59001 ÷ 217
    59001 ÷ 131072     		y = 0.450141906738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.589790344238281 × 2 - 1) × π
    0.179580688476562 × 3.1415926535     		Λ = 0.56416937
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.450141906738281 × 2 - 1) × π
    0.0997161865234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.313267639017067
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56416937} λ = 0.56416937}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.313267639017067))-π/2
    2×atan(1.36788758212858)-π/2
    2×0.939531180593396-π/2
    1.87906236118679-1.57079632675     		φ = 0.30826603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56416937} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.324524°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30826603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.662342°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77305 KachelY 59001 0.56416937 0.30826603 32.324524 17.662342
    Oben rechts KachelX + 1 77306 KachelY 59001 0.56421731 0.30826603 32.327271 17.662342
    Unten links KachelX 77305 KachelY + 1 59002 0.56416937 0.30822036 32.324524 17.659726
    Unten rechts KachelX + 1 77306 KachelY + 1 59002 0.56421731 0.30822036 32.327271 17.659726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30826603-0.30822036) × R
    4.56699999999977e-05 × 6371000     		dl = 290.963569999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30826603-0.30822036) × R
    4.56699999999977e-05 × 6371000     		dr = 290.963569999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56416937-0.56421731) × cos(0.30826603) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.952861100477041 × 6371000     		do = 291.028306730224m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56416937-0.56421731) × cos(0.30822036) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.952874956074655 × 6371000     		du = 291.032538586378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30826603)-sin(0.30822036))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.952861100477041-0.952874956074655)×R²
    abs(0.56421731-0.56416937)×1.3855597614687e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.3855597614687e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.3855597614687e-05×40589641000000     		ar = 84679.2507700761m²