Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77303 / 59902
↖ ↑ ↗
← N 15.289484°
E 32.319031°		 ← 294.55 m → N 15.289484°
E 32.321777°		 →
↑
294.66 m
↓
↑
294.66 m
↓
N 15.286834°
E 32.319031°		 ← 294.56 m →
86 793 m²		 N 15.286834°
E 32.321777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77303 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59902 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589778900146484 y=0.457019805908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589778900146484 × 217)
    floor (0.589778900146484 × 131072)
    floor (77303.5)     		tx = 77303
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457019805908203 × 217)
    floor (0.457019805908203 × 131072)
    floor (59902.5)     		ty = 59902
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77303 / 59902 ti = "17/77303/59902"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77303/59902.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77303 ÷ 217
    77303 ÷ 131072     		x = 0.589775085449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59902 ÷ 217
    59902 ÷ 131072     		y = 0.457015991210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.589775085449219 × 2 - 1) × π
    0.179550170898438 × 3.1415926535     		Λ = 0.56407350
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457015991210938 × 2 - 1) × π
    0.085968017578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.270076492459396
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56407350} λ = 0.56407350}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.270076492459396))-π/2
    2×atan(1.31006465696827)-π/2
    2×0.918824081053662-π/2
    1.83764816210732-1.57079632675     		φ = 0.26685184
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56407350} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.319031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26685184 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.289484°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77303 KachelY 59902 0.56407350 0.26685184 32.319031 15.289484
    Oben rechts KachelX + 1 77304 KachelY 59902 0.56412143 0.26685184 32.321777 15.289484
    Unten links KachelX 77303 KachelY + 1 59903 0.56407350 0.26680559 32.319031 15.286834
    Unten rechts KachelX + 1 77304 KachelY + 1 59903 0.56412143 0.26680559 32.321777 15.286834
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26685184-0.26680559) × R
    4.62500000000254e-05 × 6371000     		dl = 294.658750000162m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26685184-0.26680559) × R
    4.62500000000254e-05 × 6371000     		dr = 294.658750000162m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56407350-0.56412143) × cos(0.26685184) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.964605832298533 × 6371000     		do = 294.5539951007m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56407350-0.56412143) × cos(0.26680559) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.964618027207544 × 6371000     		du = 294.557718962871m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26685184)-sin(0.26680559))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.964605832298533-0.964618027207544)×R²
    abs(0.56412143-0.56407350)×1.21949090106099e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.21949090106099e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.21949090106099e-05×40589641000000     		ar = 86793.4606537494m²