Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7730 / 9610
↖ ↑ ↗
← S 29.726222°
W 10.151367°		 ← 2 121.70 m → S 29.726222°
W 10.129395°		 →
↑
2 121.54 m
↓
↑
2 121.54 m
↓
S 29.745302°
W 10.151367°		 ← 2 121.30 m →
4 500 848 m²		 S 29.745302°
W 10.129395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7730 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471832275390625 y=0.586578369140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471832275390625 × 214)
    floor (0.471832275390625 × 16384)
    floor (7730.5)     		tx = 7730
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586578369140625 × 214)
    floor (0.586578369140625 × 16384)
    floor (9610.5)     		ty = 9610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7730 / 9610 ti = "14/7730/9610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7730/9610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7730 ÷ 214
    7730 ÷ 16384     		x = 0.4718017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9610 ÷ 214
    9610 ÷ 16384     		y = 0.5865478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4718017578125 × 2 - 1) × π
    -0.056396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.17717478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5865478515625 × 2 - 1) × π
    -0.173095703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.543796189289917
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17717478} λ = -0.17717478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.543796189289917))-π/2
    2×atan(0.58054022339925)-π/2
    2×0.525987936577559-π/2
    1.05197587315512-1.57079632675     		φ = -0.51882045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17717478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.151367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51882045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.726222°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7730 KachelY 9610 -0.17717478 -0.51882045 -10.151367 -29.726222
    Oben rechts KachelX + 1 7731 KachelY 9610 -0.17679129 -0.51882045 -10.129395 -29.726222
    Unten links KachelX 7730 KachelY + 1 9611 -0.17717478 -0.51915345 -10.151367 -29.745302
    Unten rechts KachelX + 1 7731 KachelY + 1 9611 -0.17679129 -0.51915345 -10.129395 -29.745302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51882045--0.51915345) × R
    0.000333000000000028 × 6371000     		dl = 2121.54300000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51882045--0.51915345) × R
    0.000333000000000028 × 6371000     		dr = 2121.54300000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17717478--0.17679129) × cos(-0.51882045) × R
    0.000383490000000014 × 0.868404670793415 × 6371000     		do = 2121.69913538763m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17717478--0.17679129) × cos(-0.51915345) × R
    0.000383490000000014 × 0.868239502548156 × 6371000     		du = 2121.29559388797m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51882045)-sin(-0.51915345))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.868404670793415-0.868239502548156)×R²
    abs(-0.17679129--0.17717478)×0.000165168245259806×R²
    0.000383490000000014×0.000165168245259806×6371000²
    0.000383490000000014×0.000165168245259806×40589641000000     		ar = 4500847.92505738m²