Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 773 / 1785
↖ ↑ ↗
← N 22.512557°
W112.060547°		 ← 9 028.24 m → N 22.512557°
W111.972656°		 →
↑
9 030.89 m
↓
↑
9 030.89 m
↓
N 22.431340°
W112.060547°		 ← 9 033.54 m →
81 557 010 m²		 N 22.431340°
W111.972656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 773 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1888427734375 y=0.4359130859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1888427734375 × 212)
    floor (0.1888427734375 × 4096)
    floor (773.5)     		tx = 773
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4359130859375 × 212)
    floor (0.4359130859375 × 4096)
    floor (1785.5)     		ty = 1785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 773 / 1785 ti = "12/773/1785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/773/1785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 773 ÷ 212
    773 ÷ 4096     		x = 0.188720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1785 ÷ 212
    1785 ÷ 4096     		y = 0.435791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.188720703125 × 2 - 1) × π
    -0.62255859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.95582550
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435791015625 × 2 - 1) × π
    0.12841796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.403436947202393
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.95582550} λ = -1.95582550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.403436947202393))-π/2
    2×atan(1.49696084163422)-π/2
    2×0.981857284337594-π/2
    1.96371456867519-1.57079632675     		φ = 0.39291824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.95582550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -112.060547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39291824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.512557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 773 KachelY 1785 -1.95582550 0.39291824 -112.060547 22.512557
    Oben rechts KachelX + 1 774 KachelY 1785 -1.95429152 0.39291824 -111.972656 22.512557
    Unten links KachelX 773 KachelY + 1 1786 -1.95582550 0.39150074 -112.060547 22.431340
    Unten rechts KachelX + 1 774 KachelY + 1 1786 -1.95429152 0.39150074 -111.972656 22.431340
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39291824-0.39150074) × R
    0.00141749999999996 × 6371000     		dl = 9030.89249999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39291824-0.39150074) × R
    0.00141749999999996 × 6371000     		dr = 9030.89249999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.95582550--1.95429152) × cos(0.39291824) × R
    0.00153398000000005 × 0.923795642073861 × 6371000     		do = 9028.2424126506m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.95582550--1.95429152) × cos(0.39150074) × R
    0.00153398000000005 × 0.924337454559975 × 6371000     		du = 9033.53753880626m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39291824)-sin(0.39150074))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.923795642073861-0.924337454559975)×R²
    abs(-1.95429152--1.95582550)×0.000541812486113735×R²
    0.00153398000000005×0.000541812486113735×6371000²
    0.00153398000000005×0.000541812486113735×40589641000000     		ar = 81557010.2062134m²