Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77298 / 59122
↖ ↑ ↗
← N 17.345395°
E 32.305298°		 ← 291.54 m → N 17.345395°
E 32.308044°		 →
↑
291.47 m
↓
↑
291.47 m
↓
N 17.342774°
E 32.305298°		 ← 291.54 m →
84 976 m²		 N 17.342774°
E 32.308044°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59122 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589740753173828 y=0.451068878173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589740753173828 × 217)
    floor (0.589740753173828 × 131072)
    floor (77298.5)     		tx = 77298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.451068878173828 × 217)
    floor (0.451068878173828 × 131072)
    floor (59122.5)     		ty = 59122
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77298 / 59122 ti = "17/77298/59122"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77298/59122.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77298 ÷ 217
    77298 ÷ 131072     		x = 0.589736938476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59122 ÷ 217
    59122 ÷ 131072     		y = 0.451065063476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.589736938476562 × 2 - 1) × π
    0.179473876953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.56383381
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.451065063476562 × 2 - 1) × π
    0.097869873046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.30746727416304
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56383381} λ = 0.56383381}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.30746727416304))-π/2
    2×atan(1.35997630141099)-π/2
    2×0.936765290575799-π/2
    1.8735305811516-1.57079632675     		φ = 0.30273425
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56383381} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.305298°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30273425 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.345395°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77298 KachelY 59122 0.56383381 0.30273425 32.305298 17.345395
    Oben rechts KachelX + 1 77299 KachelY 59122 0.56388175 0.30273425 32.308044 17.345395
    Unten links KachelX 77298 KachelY + 1 59123 0.56383381 0.30268850 32.305298 17.342774
    Unten rechts KachelX + 1 77299 KachelY + 1 59123 0.56388175 0.30268850 32.308044 17.342774
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30273425-0.30268850) × R
    4.57499999999555e-05 × 6371000     		dl = 291.473249999717m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30273425-0.30268850) × R
    4.57499999999555e-05 × 6371000     		dr = 291.473249999717m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56383381-0.56388175) × cos(0.30273425) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.954524892903004 × 6371000     		do = 291.53647176313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56383381-0.56388175) × cos(0.30268850) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.954538531407719 × 6371000     		du = 291.540637313525m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30273425)-sin(0.30268850))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.954524892903004-0.954538531407719)×R²
    abs(0.56388175-0.56383381)×1.36385047145859e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.36385047145859e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.36385047145859e-05×40589641000000     		ar = 84975.6900063603m²