Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77296 / 59120
↖ ↑ ↗
← N 17.350639°
E 32.299805°		 ← 291.53 m → N 17.350639°
E 32.302551°		 →
↑
291.54 m
↓
↑
291.54 m
↓
N 17.348017°
E 32.299805°		 ← 291.53 m →
84 992 m²		 N 17.348017°
E 32.302551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77296 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589725494384766 y=0.451053619384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589725494384766 × 217)
    floor (0.589725494384766 × 131072)
    floor (77296.5)     		tx = 77296
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.451053619384766 × 217)
    floor (0.451053619384766 × 131072)
    floor (59120.5)     		ty = 59120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77296 / 59120 ti = "17/77296/59120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77296/59120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77296 ÷ 217
    77296 ÷ 131072     		x = 0.5897216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59120 ÷ 217
    59120 ÷ 131072     		y = 0.4510498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5897216796875 × 2 - 1) × π
    0.179443359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.56373794
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4510498046875 × 2 - 1) × π
    0.097900390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.30756314796228
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56373794} λ = 0.56373794}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.30756314796228))-π/2
    2×atan(1.36010669375639)-π/2
    2×0.93681104688572-π/2
    1.87362209377144-1.57079632675     		φ = 0.30282577
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56373794} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.299805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30282577 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.350639°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77296 KachelY 59120 0.56373794 0.30282577 32.299805 17.350639
    Oben rechts KachelX + 1 77297 KachelY 59120 0.56378588 0.30282577 32.302551 17.350639
    Unten links KachelX 77296 KachelY + 1 59121 0.56373794 0.30278001 32.299805 17.348017
    Unten rechts KachelX + 1 77297 KachelY + 1 59121 0.56378588 0.30278001 32.302551 17.348017
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30282577-0.30278001) × R
    4.57600000000058e-05 × 6371000     		dl = 291.536960000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30282577-0.30278001) × R
    4.57600000000058e-05 × 6371000     		dr = 291.536960000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56373794-0.56378588) × cos(0.30282577) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.954497603935591 × 6371000     		do = 291.528137010064m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56373794-0.56378588) × cos(0.30278001) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.954511249418661 × 6371000     		du = 291.532304691828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30282577)-sin(0.30278001))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.954497603935591-0.954511249418661)×R²
    abs(0.56378588-0.56373794)×1.36454830691468e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.36454830691468e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.36454830691468e-05×40589641000000     		ar = 84991.8343497773m²