Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77293 / 58987
↖ ↑ ↗
← N 17.698979°
E 32.291565°		 ← 290.97 m → N 17.698979°
E 32.294312°		 →
↑
290.96 m
↓
↑
290.96 m
↓
N 17.696362°
E 32.291565°		 ← 290.97 m →
84 662 m²		 N 17.696362°
E 32.294312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77293 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58987 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589702606201172 y=0.450038909912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589702606201172 × 217)
    floor (0.589702606201172 × 131072)
    floor (77293.5)     		tx = 77293
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450038909912109 × 217)
    floor (0.450038909912109 × 131072)
    floor (58987.5)     		ty = 58987
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77293 / 58987 ti = "17/77293/58987"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77293/58987.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77293 ÷ 217
    77293 ÷ 131072     		x = 0.589698791503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58987 ÷ 217
    58987 ÷ 131072     		y = 0.450035095214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.589698791503906 × 2 - 1) × π
    0.179397583007812 × 3.1415926535     		Λ = 0.56359413
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.450035095214844 × 2 - 1) × π
    0.0999298095703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.313938755611748
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56359413} λ = 0.56359413}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.313938755611748))-π/2
    2×atan(1.36880590230009)-π/2
    2×0.939850888468853-π/2
    1.87970177693771-1.57079632675     		φ = 0.30890545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56359413} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.291565°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30890545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.698979°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77293 KachelY 58987 0.56359413 0.30890545 32.291565 17.698979
    Oben rechts KachelX + 1 77294 KachelY 58987 0.56364207 0.30890545 32.294312 17.698979
    Unten links KachelX 77293 KachelY + 1 58988 0.56359413 0.30885978 32.291565 17.696362
    Unten rechts KachelX + 1 77294 KachelY + 1 58988 0.56364207 0.30885978 32.294312 17.696362
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30890545-0.30885978) × R
    4.56700000000532e-05 × 6371000     		dl = 290.963570000339m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30890545-0.30885978) × R
    4.56700000000532e-05 × 6371000     		dr = 290.963570000339m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56359413-0.56364207) × cos(0.30890545) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.952666901282905 × 6371000     		do = 290.968993297647m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56359413-0.56364207) × cos(0.30885978) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.952680784703634 × 6371000     		du = 290.973233651697m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30890545)-sin(0.30885978))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.952666901282905-0.952680784703634)×R²
    abs(0.56364207-0.56359413)×1.3883420729166e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.3883420729166e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.3883420729166e-05×40589641000000     		ar = 84661.9939582457m²